【正文】 這種解依賴于方程組系數(shù)的誤差 ?A及 ?b的問題，稱為線性方程組解對系數(shù)的敏感性。對近似方程組求出的解是原問題的真解 x加上誤差 ?x,即 x+?x。同時，由于所求問題的初始數(shù)據(jù)（例如線形方程組的系數(shù)矩陣和右端項系數(shù)）往往是帶有一定誤差的。主元。 由前面的定理知 ， A必有唯一的 LDLT分解式 A=LDLT 在解對稱正定線性方程組時 ， 系數(shù)矩陣 A的 LDLT分解中 D又可分解為 D=D1/2 D1/2， 這里 D1/2也是對角矩陣 TTT LDLDLDLDLD LA ))(( 21212121 ???.,~,~~,~21稱為平方根法組的方法分解解線性方程用三角陣稱為下三角矩陣分解的這種分解稱為正定矩陣則令C h o l e s k yC h o l e s k yLC h o l e s k yALLALLD ?? 定理 2 設(shè) A對稱正定，則有非奇異下三角陣 L，使 TLLA ? 理論基礎(chǔ) (證略） 分解方法：設(shè) jiijnnnnnnnnnnnnnnaallllllllllllaaaaaaaaa??????????????????????????????????????其中 2221211121222111212222111211???????????????( choleskey分解 ) 22121222222212121222222222111111111111111111 n),3 , 4 ,(j j2L )2 22L 1) )2( n),2,(j j1L )2 )( )1 )1(2222lllalaallllLlalallLlalaallLalaljjjjjjjTTjjjjjT?????????????????????????列第行第列第行第列第行第取正由矩陣乘法及其改進(jìn)分解。 當(dāng) A有 LDLT分解時 ， 利用矩陣運算法則及相等原理易得計算 ljk及 dk的公式為 ?????????????????11112/)(kmkmkmjmjkjkkmmkmkkkddllaldlad k=1,2,? ,n。消元法的計算量要少很追趕法的運算量比AdAxGa u s sGa u s s?3616實際問題中 ， 當(dāng)求解方程組的系數(shù)矩陣是對稱矩陣時 ，則用下面介紹的 LDL轉(zhuǎn)置分解法可以簡化程序設(shè)計并減少計算量 . 從定理可知 ,當(dāng)矩陣 A的各階順序主子式不為零時 ,A有唯一的 Doolittle分解 A= ,當(dāng)然有 ,所以矩陣 U的對角線元素 uii ?0,(i=1,2,? ,n),將矩陣 U的每行依此提出 uii 2. LDL（轉(zhuǎn)置）分解法 這里則有 ,~UDU ??????????????????nnuuuD??2211??????????????????????????1111~111222222311111131112nnnnnnuuuuuuuuuuuuU?????由 A=AT， 得 由分解的唯一性有 ， 即 ， 于是可得下面的結(jié)論 。我們的特征，將可大大減少的線性形式時，注意到我們解次乘除法運算。組的方法亦稱為追趕法用這組公式解線性方程，角方程組的遞推公式：綜合以上，求解出三對計算公式為：三對角矩023451,1)(,3,21,2,1)(,3,22111111111111??????????????????????????????????????????kkkkkknnnkkkkkkkkkkkkkkkkknnkkkkqG a u s sG a u s sndAxnD o o l i t t l eC r o u tG a u s snkqxcyxqyxypdynkcpbqqapdybqnnkqxcyxqyxnkypdydy????下面舉實例用追趕法來解三對角方程組 。追趕法，只需增加組程次，若另外增加一個方有計算量、乘除法次數(shù)僅求解公式也比較簡單，分解。及可由時，當(dāng)，表示，則三對角方程的矩陣若記的計算公式，為：和的及的元素于是得計算，有：由矩陣乘法及相等定義分解形式陣yUxdLyLUAdAxddddpbqnkcqapbqqUpLnkcbpqaqpbqqqqpppbacbacbacbD o o l i t t l eTnkkkkkkkkkiiikkkkkkkkknnnnnnnn??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????),(),3,2(),3,2(111121111111111111122113211122211???????????????????時不能進(jìn)行。 A=LU， 則 L是下帶寬為 p的單位下三角矩陣 ， U是上帶寬為 q的上三角矩陣 。比較其中iiiiiiiiiiiiiiianiacniabaacabBa?????????,)1,2(),2(,。 ??????????????????????????????????????????????nnnnnnnnnnnnnnnnnbacbacbacbAdxbxadxcxbxadxcxbxadxcxb111222111111111232221212111????對應(yīng)的系數(shù)矩陣三對角線性方程組： 設(shè)有方程組 Ax=d，其中 A為三對角矩陣。充分利用了系數(shù)矩陣的特點 ， 而且使之分解更簡單 ,得到對三對角線性方程組的快速解法 。 （ 3） [A]陣的存儲空間可利用，節(jié)省存儲 。這樣節(jié)省計算時間。一般說來，分解的運算次數(shù)正比于 n 回代求解正比與 n。 再考察公式 S會發(fā)現(xiàn) A中任一元素 aij只在計算 lij（ j=i） 和 uij（ ji)中用到一次以后就不再出現(xiàn)了，因而完全 可以利用原始數(shù)組 A的單元，一個個逐次貯存 L或 U中 的相應(yīng)元素，即： a11 a12 a13 … a 1n u11 u12 u13 … u 1n a21 a22 a23 … a 2n l21 u22 u23 … u 2n a31 a32 a33 … a 3n l31 l32 u33 … u 3n an1 an2 an3 … a nn ln1 ln2 ln3 … u nn … … … ... … … … ... (1) (3) (5) (2n1) (2) (4) (6) (2n) 采用 LU分解有如下特點： （ 1） LU分解與右端向量無關(guān)。 L和 U中的三角零元素都不 必存儲，就是 U的對角元素也因為都是 1沒有必要再 記錄在程序中，這樣只用一個 n階方陣就可以把 L和 U貯存起來。 為什么要討論三角分解？若在消元法進(jìn)行前能實 現(xiàn)三角分解 LUA ? ， 則 ???? bxLUbAx )(上三角方程組）下三角方程組）( ( yUxbLy?? 容易回代求解 回代求解很容易，如 2 , 1 )1,n(k n),2 , 3 ,(k 1 1111111212121222111?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????kknkjjkjkknnnnkjjkjkkkknnnnnnuxubxuyxylblylbybbbyyyllllll練習(xí)：? 由 LU=A及對 L和 U的要求可以得到分解的計算公式．根據(jù)下式 (Doolittle分解 )： 1 l21 1 l31 l32 1 … … … ln1 ln2 … lnn