解線性方程組的直接方法(參考版)
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【正文】 2022/8/18 39 本章作業(yè) 設(shè) Ax=b，用 LU分解法求此方程組 ??????????????????????????11115675781079108610975bA P230 7 。 , r ( i ) /( , nr , ri n),(rrLrUuulalulaurrrkkrikirirrkkirkriri????????????????且1)。 , , 1 n, 1,j , 。 , 2 n, 2,j , 。 直接三角分解法 將高斯消去法改寫為緊湊形式，可以直接從矩陣 A的元素 得到計算 L,U元素的遞推公式，而不需要任何中間步驟， 這就是 直接三角分解法。 高斯 — 若當(dāng)消去法 2022/8/18 26 ? ?11 5 / 3 2 0 0 1 / 3 0 2 / 3 1 0 1 2 / 30 1 / 3 1 1 0 1 / 31 0 1 / 2 0 5 / 2 20 1 3 / 2 0 3 / 2 10 0 1 / 2 1 1 / 2 01 0 0 1 3 2 0 1 0 3 3 1 | .0 0 1 2 1 0nIA??????????? ??????????????? ????????? ? ? ????? ???2022/8/18 27 167。G J 方法主要用途是求一個矩陣的逆矩陣。G J 方法將 約化為單位矩陣，計算解就在常數(shù)項得到，無需回代求解。（列主元素法）32 00 72 43 00 0 0 .5000 0 68 87 ( , , )mTx????????????????????? ? ?31 rr ?m31= 2022/8/18 24 定理 8（列主元素的三角分解定理） 如果 A為非奇異 矩陣，則存在排列矩陣 P使 PA=LU 其中 L為單位下三角陣， U為上三角陣。 167。 高斯主元素消去法 ()() 00kkkkkkaa??在高斯法消元過程中可能出現(xiàn) 的情況，這時消去法將無法進(jìn)行；即使主元素 但很小，用其作除數(shù)，也會導(dǎo)致其他元素數(shù)量級的嚴(yán)重增長和舍入誤差的擴(kuò)散。 矩陣的三角分解 2022/8/18 16 ( 3 ) ( 2 )( 3 ) ( 2 )22222 2 223222 , 10101 340 0 1L( ) ( )iini , , , nbbA L A Lm a amm????????????? ??????記：( 3 ) ( 1 )( 3 ) ( 1 )2 1 2 1 , bbA L L A L L??2022/8/18 17 11 2 111 2 1( n ) ( )nn( n ) ( )nn A L L L AbbL L L??????1i1,1,11010111 01010101 i iiiiininiLLmmmm?????? ?????????? ????????????????列 i 列i+1行 i+1行 1 iiLL與依次遞推 2022/8/18 18 LUULLLAA n ??? ? ??? 1 11211)1( ? 1112121111211????????????????????????mmmnnnLLLL定理 7（矩陣的 LU分解） 設(shè) A為 n階矩陣，如果 A的 順序主子式 Di≠0（ i=1， 2， … ， n1），則 A可分解為一個單位下 三角矩陣 L和一個上三角矩陣 U的乘積，且這種分解是 唯一 的。 ????????? 21 2 )) * ( n ( n n二)(nnk) ( k nk13 212∑ ????乘法總計21 ∑ 11)n ( n k nk????除法1 2n ( n ) ?回代總計算量32 1 ( 3 0 , 9 8 9 0 )
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