解線性方程組的直接方法(已改無錯字)
2022-08-18 10:44:13 本頁面
【正文】 ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ???例 ：階方程組四位有效數字精確解為解：（ ）高斯消去法21223210002022 0 2022 3005 1002 0 2022 3005 10020 4001 6006 2022 0 0 ( 0.mmmx?????????????????????? ? ? ?? ? ? ??????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? 400 , 89 , 0)T?3 m31= 2022 2022/8/18 23 ? ?21222 00 72 43 00 | 00 12 23 00 01 00 00 00 00 72 43 00 0 12 01 000 01 03 02mmAb????????? ? ????????????????????（ ）交換行，避免絕對值小的主元作除數。（列主元素法）32 00 72 43 00 0 0 .5000 0 68 87 ( , , )mTx????????????????????? ? ?31 rr ?m31= 2022/8/18 24 定理 8（列主元素的三角分解定理） 如果 A為非奇異 矩陣，則存在排列矩陣 P使 PA=LU 其中 L為單位下三角陣， U為上三角陣。 2022/8/18 25 3 2G a u ss J o rd a nAn?消去對角線下方和上方的元素，此方法稱消去法。G J 方法將 約化為單位矩陣，計算解就在常數項得到，無需回代求解。計算量大約需 次乘除法，要比高斯消去法大。G J 方法主要用途是求一個矩陣的逆矩陣。? ?11 2 3 5 G J 2 4 5 .3561 2 3 1 0 0 3 5 6 0 0 1 | 2 4 5 0 1 0 2 4 5 0 1 03 5 6 0 0 1 1 2 3 1 0 0nAAAI????????????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?例 ：用 法求 的逆矩陣解：167。 高斯 — 若當消去法 2022/8/18 26 ? ?11 5 / 3 2 0 0 1 / 3 0 2 / 3 1 0 1 2 / 30 1 / 3 1 1 0 1 / 31 0 1 / 2 0 5 / 2 20 1 3 / 2 0 3 / 2 10 0 1 / 2 1 1 / 2 01 0 0 1 3 2 0 1 0 3 3 1 | .0 0 1 2 1 0nIA??????????? ??????????????? ????????? ? ? ????? ???2022/8/18 27 167。 矩陣三角分解法 167。 直接三角分解法 將高斯消去法改寫為緊湊形式，可以直接從矩陣 A的元素 得到計算 L,U元素的遞推公式，而不需要任何中間步驟， 這就是 直接三角分解法。 由于 A=LU，求解 Ax=b的問題就等價于求解兩個三角形方程組 ① Ly=b，求 y； ② Ux=y，求 x. 2022/8/18 28 不選主元的三角分解法 ?????????????????????????nnnnnnuuuuuulllA???????222112112121111A=LU 其中 L為單位下三角陣， U為上三角陣 （ ） 2022/8/18 29 一、直接計算 A 的 LU 分解 (例 ) ?? 000000 1010010001 4434334423221413121143424132312144434241343332312423222114131211uuuuuuuuuullllllaaaaaaaaaaaaaaaauulululululululululuululuulululululuuluuluululuuuu4434432442144133432342134122421241114134243214313323321331223212311131241421231321221221112114131211++++++++++++++2022/8/18 30 uulululululululululuululuulululululuuluuluululuuuu4434432442144133432342134122421241114134243214313323321331223212311131
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