【正文】 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 。 定義 若矩陣 A或常數(shù)項(xiàng) b的微小變化引起方程組 Ax＝ b的解的巨大變化，則稱此方程組為 病態(tài)方程組 ， A為 病態(tài)矩陣 （相對(duì)方程組而言）；否則稱方程組為 良態(tài)方程組 ， A為 良態(tài)矩陣 。 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 誤差分析 ? 結(jié)論： （ 1）的常數(shù)項(xiàng) b的第二個(gè)分量只有 1/1000的微小變化，方程組的解變化卻很大。 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 定義 設(shè) A=(aij )n n ?Rn n ，則稱 )(2 AA ??21121??????? ????njijniFaA為 A的 Frobenius范數(shù)，簡(jiǎn)稱 F－范數(shù) 。 向量范數(shù)與矩陣范數(shù)的關(guān)系： 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ?????niijnj aA111 m a x)m a x (2 AAA T????????njijni aA11m a x? 定理 設(shè)矩陣 A?Rn n ,A=(aij )n n ,則 （ 1） －列范數(shù) （ 2） （ 3） －行范數(shù) 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 譜半徑、譜范數(shù)與方陣的 F－范數(shù) 定義 設(shè) n階方陣 A的特征值為 ?1 ,?2 ,…, ?n ，則 稱 iniA ?? ??? 1m a x)(AA ?)(?定理 （特征值上界）設(shè) A?Rn n ,則 為 A的 譜半徑 。 矩陣的范數(shù) 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 定義 設(shè)向量 X?Rn，矩陣 A?Rn n ，且給定一種向量范數(shù) ||X||p ，則定義 (p=1,2,?) 為矩陣 A的范數(shù)，并稱為 A的 算子范數(shù) 。 向量的范數(shù) 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 定義 設(shè) X= (x1 , x2 ,…, xn)T ?Rn ,則定義： 222212 nxxxX ???? ?（ 1）向量的“ 2－范數(shù)”： （ 2）向量的“ ?－范數(shù)”： ? ?ini xX ??? ? 1m a x（ 3）向量的“ 1－范數(shù)”： （ 4）向量的“ p－范數(shù)”： ???niixX11pnipip xX11????????? ??《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ? 例： 計(jì)算向量 X=(1,0,1,2)T的三種常用范數(shù)。 ?“趕”的過程：（回代過程） 按逆序求出 xnxn1?? x2x1。 ????????? )1,1(,1 ?nixyxyxiiiinn?計(jì)算公式： 計(jì)算公式： ?????????????????????????????????????nnnn fffyyy????2121221?????Step 2：求解下三角方程組Ly＝ f 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 例： 求解三對(duì)角方程組 ?????????????????????????????????????????????101653242231124321xxxx???????????????????5324223112A???????????????????2/536/55/1225/42/512/12解： 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ????????????????2/535/1222/512L????????????????16/515/412/11U?????????????1016Ly y=[3, 8/5, 4/3, 2]T ?????????????23/45/83Uxx = [5, 4, 3, 2]T 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 基本思想： 每一輪消元只對(duì)增廣矩陣中某兩行進(jìn)行 —— 將主對(duì)角元化為 1，主對(duì)角元下方元素化為零。, n； j = 1,2, ln1 = an1/d1 ( i = 2,3, n 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 LDLT分解的計(jì)算公式： ?????????????????????????????????????1111112121212121?????????nnnnnllldddlllA?????????????????????????????????????nnnnnnnnnnn aaaaaaaaalllddldlddld???????????????2122221112112121221121211111jjkjkkikijij dldlal /)(11??????????11ikikkikiii ldladd1 = a11, l21= a21/d1, ,i1 ) ?????????????????????????????????????nnnnnnnnnnnnnn aaaaaaaaallllllllllll???????????????21222211121122212111212221111111 al ? 對(duì)于 i = 2,3, 三、對(duì)稱正定矩陣的 Cholesky分解法（平方根法） ????????????????????????????? nnnnnnnnuuuuuummmA,122112111,121111????????故 A可進(jìn)行 LU分解： 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 記 ?????????????nnnnuuuuuuU????22211211????????????????????????????1/1//11,1,111111122211nnnnnnnuuuuuuuuu?????1DU?《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 TTTLLLDLDLDLDUDLDL D ULUA~~))(( 21212121121211??????),( 2211 nnuuud i a gD ?? 22211 )],([ nnuuud i a g ??則 A=LDU1 121211 UDDDUU ??即 A＝ LDLT －－稱 A的 LDLT分解 若記 則 －－稱 A的 LLT分解 = AT = U1TDLT = U1=LT 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 LLT分解的計(jì)算公式： 對(duì) A的第 i行元素 , 有 ( j = 1,2, 從上式最后一個(gè)矩陣中可知 L， U， y， 然后解線性方程組 Ux＝ y。,3,2(/)()3(),1,。 , mn1u12+ mn2u22=an2 m32=(a32 m31u12)/u22, , mn1=an1/u11 u22=a22 m21u12, , mn1u11=an1 對(duì) A的元素 aij ，當(dāng) j≥k 和 i≥k時(shí) kjkrrjkrkj uuma ?? ???11kkikkrrkirik umuma ?? ???11m21u12+ u22=a22, 矩陣三角分解法 （一） Doolittle分解法 （二 ） Crout分解法 （三） 對(duì)稱正定矩陣的 Cholesky分解法 （四） 三對(duì)角方程組的數(shù)值解法 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ????????????nnnnnnaaaaaaaaa???????212222111211????????????1112121nnmmm???????????????nnnnuuuuuu????22211211＝ 設(shè) A非奇異，且 A＝ LU， L為單位下三角陣， U為上三角陣，即 可得直接三角分解法解 Ax＝ b的計(jì)算公式： 一、 Doolittle分解法： 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 u11=a11, )1( ?kji kka)1( ?kkka全主元素消元法的基本思想： 若 注：全主元素消元法有可能改變未知數(shù)的順序。 矩陣分解關(guān)系為 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 全主元素消元法： )1()1( m a x ?????? ? kijnjknikkji aa kk定義： 則稱 )1( ?kjikka為全主元素。P2=I） P = P2P2P1A 記 U=A(2)=F2F1 Gauss列主元素消元法的基本思想： 《 計(jì)算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ? 例： 用列主元法解 ???????????????????