第六章線性方程組的迭代解法-在線瀏覽
2024-08-31 00:10本頁(yè)面
【正文】 值方法的研究中起著重要的作用 。 2 迭代解法與收斂性 迭代解法的構(gòu)造 迭代解法的收斂性條件 167。第六章 線性方程組的迭代解法 167。 1 向量和矩陣的范數(shù) 向量的范數(shù) 矩陣的范數(shù) 167。 3 常用的三種迭代解法 Jacobi迭代法 GaussSeidel迭代法 超松弛 (SOR)迭代法 167。 定義 設(shè) |||| 為 Rn 空間上的范數(shù)， || x ||為 向量 x 的范數(shù) 。 （ 2）齊次性：對(duì)任何實(shí)數(shù)和向量 x || α x||＝ | α | || x || （ 3）三角不等式：對(duì)任何向量 x和 y， 都有 || x＋ y ||≤|| x ||＋ || y || 設(shè)向量 x＝（ x1， x2， … ， xn） T，定義 向量 1范數(shù)： ???niixx1121122 ????????? ??niixx向量 2范數(shù)： 向量 ∞范數(shù)： ini xx ??? ? 1m a x容易驗(yàn)證，以上三種范數(shù)都滿足向量范數(shù)的三個(gè)條件。 解 :對(duì)于 向量 x＝ (1，－ 3， 2， 0)T ，根據(jù)定義可以計(jì)算出： || x||1＝ | 1 |＋ |－ 3 |＋ | 2 |＋ | 0 |＝ 6 ? ?? ? 140231 2122222 ??????x? ? 30,2,3,1m a x ????x 由此例可見(jiàn)，向量不同范數(shù)的值不一定相同，但這并不影響對(duì)向量大小做定性的描述，因?yàn)椴煌稊?shù)之間存在如下等價(jià)關(guān)系。||α和 ||容易證明，常用的三種向量范數(shù)滿足下述等價(jià)關(guān)系。 記作 或 二、矩陣的范數(shù) 矩陣范數(shù)是反映矩陣“大小”的一種度量，具體定義如下。||是以 n階矩陣為變量的實(shí)值函數(shù)，且滿足條件： （ 1） || A ||≥0，且 || A ||＝ 0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng) A＝ 0 （ 2） ||αA||＝ |α| || A||， α∈ R （ 3） ||A＋ B||＝ || A ||＋ || B || （ 4） || AB ||≤|| A || || B || 則稱 || A ||為矩陣 A的范數(shù)。 例 26 設(shè)矩陣
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