【正文】 上限積分函數(shù)在[a，b]上連續(xù)，其中為[a，b]內(nèi)任一點。試證：亦是以Ｔ為周期的函數(shù)。.解：令，則 處理這類問題的關(guān)鍵是：變限積分作積分變量替換同常義定積分一樣，必須對變限積分的上下限作相應(yīng)地替換，即仍然遵循常義定積分的“不換元不變限，換元就 變限”的原則，仍應(yīng)注意換元函數(shù)應(yīng)具備可導(dǎo)性與單調(diào)性的條件。[5]姜長友、張武軍等：《高等數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)教程》，北京航空航天大學(xué)出版社，2006。解：因為在[0,2]上連續(xù)的，所以的原函數(shù)存在。證明：由變量替換有 =+=0+即為偶函數(shù)。定義2：（推廣定義）：如果函數(shù)在區(qū)間可積，為內(nèi)任一點，則稱，叫變動上限積分。，叫變動下限積分。例7：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且F(x)=，試證：若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則F(x)也為偶函數(shù)。即 =．2 化積分問題為微分學(xué)問題[0,1]可導(dǎo)， 試證： 證明：引入變限積分函數(shù)易知 因得令 易知，則,故，再由，即得，故原不等式成立。[6]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析（上冊）[M].北京：高等教育出版社，1991.[7]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室。，且，試證： 證明：，于是由柯西不等式有 故 求定積分，求解：因，所以 == == ==2，且，求解：令，則，當(dāng)與時，與所以兩邊對求導(dǎo)得令得，故 ，證明： 使分析：此題利用了積分變限函數(shù)來構(gòu)造輔助函數(shù)的方法證明：令，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由的單調(diào)遞增性，設(shè)則所以0=m由介值定理得，使， 而，因此結(jié)論成立。定理4（周期性）設(shè)是以Ｔ為周期的可積函數(shù)。特殊性決定了它的重要性，也是經(jīng)常考察的一個知識點，現(xiàn)就它的幾個性質(zhì)加以舉例說明。變限積分函數(shù)的應(yīng)用 …………………………………………（9）………………………………………………………（9） 變限積分函數(shù)的應(yīng)用…………………………………………（11）．1利用變限積分求原函數(shù)……………………………………（11）．2 化積分問題為微分學(xué)問題 ………………………………（11） 求定積分……………………………………………………（12） …………………………………（14）三．結(jié)論………………………………………………………………（16）一