變限積分確定的函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用-閱讀頁
2025-07-07 17:03本頁面
【正文】 間上的增量，求原函數(shù)的過程也就是求不定積分的過程；反之，不定積分可以表示為變限函數(shù)，由于是在上的一個原函數(shù)，定積分與不定積分由原函數(shù)彼此聯(lián)系了起來。在微積分教材中，微積分微分中值定理為：設(shè)在連續(xù)，在上可導，則，使 （1）積分中值定理為：設(shè)在連續(xù)，則，使 （2）由于引入了變限函數(shù)，證明牛萊公式，即 （3）這里是f（x）在上的任意一個原函數(shù)，（即），那么(1)、（2）、（3）聯(lián)在一起可以寫作：上式也說明，這三個重要定理從不同的角度反映了微積分的基本規(guī)律，也說明它們有必然聯(lián)系。以下舉例說明有關(guān)變限函數(shù)的考題類型： 利用變限積分求原函數(shù)變限積分的導數(shù)求法已有專題論及，我們不再提及，變限積分是為引入原函數(shù)而提出的，求原函數(shù)應(yīng)是其最基本的應(yīng)用。分析：易知在[0,2]上連續(xù)，所以對任意的，變上限定積分就是在[0,2]上的一個原函數(shù)。解：因為在[0,2]上連續(xù)的，所以的原函數(shù)存在。，證明：至少存在一個，使得 分析：若令，再往下做就困難了，若令，不難驗證該函數(shù)在上滿足羅爾定理條件。.解：令，則 處理這類問題的關(guān)鍵是：變限積分作積分變量替換同常義定積分一樣，必須對變限積分的上下限作相應(yīng)地替換，即仍然遵循常義定積分的“不換元不變限，換元就 變限”的原則，仍應(yīng)注意換元函數(shù)應(yīng)具備可導性與單調(diào)性的條件。， (t0,s0),求證：是S而不是t的函數(shù)，并求證：令u=t，則當x=0與時，與s 故：是s而不是t的變限積分函數(shù)，且，求證：與變量t、s有關(guān)，并求。解： =，在內(nèi)連續(xù)且單調(diào)遞增，求證：(1)為奇函數(shù)；（2）在上單調(diào)遞減。，且，求解：令，則，當t=0與x時，u=2x，等式兩邊對x求導得：整理得：令得，故：，求。事實上，變限積分是產(chǎn)生新函數(shù)的重要工具，尤其是它能表示非初等函數(shù)，同時能將積分問題轉(zhuǎn)化為微分學問題。因此，有必要對其進行較廣泛和深入的探討，以便對其有一個較全面地認識和較深刻地掌握。[5]姜長友、張武軍等：《高等數(shù)學同步輔導教程》，北京航空航天大學出版社，2006。高等數(shù)學（第四版，上冊）[M].北京：高等教育出版社，2001.18
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