數(shù)學(xué)畢業(yè)論文關(guān)于函數(shù)不動點的性質(zhì)及應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-03-12 11:20 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 )()( nfmfmnf ? 。 求證： nnf ?)( 證明 本題是在題設(shè)條件下證明 )(nf 取自然數(shù) )2( ?nn 時均為不動點。事實上，由 新疆師范大學(xué) 2021 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文（設(shè)計） 新疆師范大學(xué) 2021 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文（設(shè)計 5 )21()7()3( fff ? )11(2)11()2()22( ffff ??? )7(4)7()2(2)14(2 ffff ??? ， 有 4)3( ?f 但 3)3(,2)2()3( ??? fff 所以。 下面用反證法證明： 若命題不真。假設(shè) nnf ?)( 的最小正整數(shù) 40 ?nn為 ，則 1)1()( 000 ???? nnfnf 故只能 00)( nnf ? 。 又 )}({ nf 是嚴(yán)格遞增的，當(dāng) 0nn? 時，有 nnf ?)( ① 下面分兩種情況討論 : (1)當(dāng) 0n 是奇數(shù)時， 2 和 20?n 互素，則 )2(2)2()2()]2(2[ 000 ????? nnffnf ② 又因 40?n ，則 00 )2(2 nn ?? 。從而式②與式①矛盾。 (2)當(dāng) 0n 為偶數(shù)時， 2 和 10?n 互素，同理，有 )1(2)1()2()]1(2[ 000 ????? nnffnf ③ 又因 40?n ，則 00 )1(2 nn ?? 。從而式③與式①矛盾。 綜上知，式①不成立。所以， nnf ?)( 。 例 已知函數(shù) )0()1()1()( 2 ?????? abxbaxxf 。 (1)當(dāng) 2,1 ??? ba 時，求函數(shù) )(xf 的不動點； (2)若對任意實數(shù) b ，函數(shù) )(xf 恒有兩個相異的不動點，求 a 的取值范圍； (3)在 (2)的條件下，若 )(xfy? 圖象上 BA, 兩點的橫坐標(biāo)是函數(shù) )(xf 的不動點，且 BA, 兩點關(guān)于直線 12 12 ??? akxy對稱，求 b 的最小值。 解 (1)當(dāng) 2,1 ??? ba 時， 。3)( 2 ??? xxxf 由 xxx ??? 32 ，得 0322 ??? xx ， 解得 3,1 21 ??? xx 。 )(xf? 的不動點為 31或? 。 (2)由于對于任意實數(shù) b 函數(shù) )0()1()1()( 2 ?????? abxbaxxf 恒有兩個相異的不動點，所以對任意實數(shù) b ，方程 xbxbax ????? )1()1(2 ， 即 0)1(2 ???? bbxax 恒有兩個相異的實數(shù)根。于是 0442 ????? aabb 對任意實數(shù) b 恒成立。 016)4( 2 ?????? aa ， 解得 10 ??a 。 故 )(xf 恒有兩個相異的不動點時， a 的取值范圍為 10 ??a 。 新疆師范大學(xué) 2021 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文（設(shè)計） 新疆師范大學(xué) 2021 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文（設(shè)計 6 (3)由題意， BA, 兩點在直線 xy? 上，設(shè) ),(,),( 2211 xxBxxA 。 BA,? 關(guān)于直線 12 12 ??? akxy 對稱， 1???k 。 設(shè) AB 的中點為 ),( yxM ?? ， 21,xx? 是方程 0)1(2 ???? bbxax 的兩個根， abxxyx 22 21 ???????? 。 ? 點 M 在直線 12 12 ???? axy 上， 12 122 2 ????? aabab ， 。4 222 1122112112 2 ??????????????aaaaaab 當(dāng)且僅當(dāng) aa 12 ? ，即 )1,0(22 ??a 時取等號。故 b 的最小值為 42? 。 利用函數(shù)不動點求函數(shù)解析式 例 試確定符合下列條件的所有多項式 )(xp ： 0)0(,1)]([)1( 22 ???? pxpxp 解 由所給條件，有 ,261)]5([)15(,51)]2([)3(,21)]1([)2(,11)]0([)1(,0)0(22222????????????????pppppppp 即 )(xp 有無窮多個不動點 0,1,2,5,26, 。 因 )(xp 是多項式，故方程 0)( ??xxp 是代數(shù)方程。而一元 n 次代數(shù)方程只有 n 個根，所以， xxpxxp ??? )(,0)( 即 。 另一方面， xxp ?)( 滿足 0)0( ?p 及 xxpxpxp ???? )(,1)]([)1( 22 故是所求的惟一多項式。 例 若 )1()( ??? abaxxf ，又 )(xf 的不動點是 ab?1 ，則函數(shù) )(xf 的n 次迭代函數(shù)的解析式可以用 )(xf 的不動點表示如下： ? ?? ?? ? ababxaLxfLf n ???????? ??? 11。 證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明。 當(dāng) 1?n 時 新疆師范大學(xué) 2021 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文（設(shè)計） 新疆師范大學(xué) 2021 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文（設(shè)計 7 baxababxaxf ?????????? ??? 11)( ， 結(jié)論成立。 假設(shè) kn? 時結(jié)論成立，既有 ? ?? ?? ? ababxaLxfLf k ???????? ??? 11。 那么，當(dāng) 1??kn 時，有 ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? bAxfAafAxfAf ?? bababxaa k ????????? ??? ]11[ baababxa k ????????? ??? ? 111 ababxa k ???????? ??? ? 111。 所以，當(dāng) 1??kn 時結(jié)論也成立。 綜上知，對于 Nn? 時結(jié)論都成立。 例 已知函數(shù) 1516))))(((( ?? xxffff 。求一次函數(shù) )(xf 的解析式。 解 設(shè)一次函數(shù) )1()( ??? abaxxf ,由例 知 1516114 ?????????? ?? xababxa ， 即有??????????????????????3212151 )1(1644babaaaba 或。 因此，所求一次函數(shù)的解析式為 32)(12)( ????? xxfxxf 和。 評述：求解 n 次迭代函數(shù)的解析式時，利用函數(shù)不動點?？山o解題帶來較大的方便。 利用函數(shù)不動點解方程 例 若 ??, 是二次函數(shù) CBxAxxF
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