數(shù)學(xué)畢業(yè)論文數(shù)形結(jié)合思想在高中知識中的應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-03-12 11:20 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 構(gòu)向幾何結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化常常表現(xiàn)為構(gòu)造一個圖形（平面的或立體的）。另外，函數(shù)的圖象也是實現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化的有效工具之一，正是基于此，函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想經(jīng)常借助于相伴而充分地發(fā)揮作 用。 常見的轉(zhuǎn)換途徑為： ，并借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決相關(guān)的問題。 AB 的性質(zhì)來尋求代數(shù)式性質(zhì)。 。通過代數(shù)式的結(jié)構(gòu)分析，構(gòu)造出符合代數(shù)式的幾何圖形，如將 2a 正方形的面積互化，將 abc 互化，將 22 ca ? 與勾股定理溝通等等。 4. 解 析 幾 何 中的 曲 線 與方 程 的 關(guān)系 ， 重 要的 公 式 （如 兩 點 間的 距 離221221 )( yyxx ??? ）（ ，點到直線的距離22 00 BAcBxAxd ? ??? ，直線的斜率，直線的截距）、定義等來尋求代數(shù)式的圖形背景及有關(guān)性質(zhì)。 （三）數(shù)形結(jié)合的原則 在數(shù)形結(jié)合時，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須 是等價的，否則解題將會出現(xiàn)漏洞 .有時，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說明，但它同時也是抽象而嚴格證明的誘導(dǎo)。 在數(shù)形結(jié)合時，既要進行幾何直觀的分析，又要進行代數(shù)抽象的探索，兩方面相輔相成，僅對代數(shù)問題進行幾何分析（或僅對幾何問題進行代數(shù)分析）在許多時候是很難行得通的。 例如，在解析幾何中，我們主要是運用代數(shù)的方法來研究幾何問題，但是在 8 許多時候，若能充分地挖掘利用圖形的幾何特征，將會使得復(fù)雜的問題簡單化。 就是找到解題思路之后， 至于用幾何方法還是用代數(shù)方法、或者兼用兩種方法來敘述解題過程，則取決于那種方法更為簡單 .而不是去刻意追求一種流性的模式 —— 代數(shù)問題運用幾何方法，幾何問題尋找代數(shù)方法。 三．數(shù)形結(jié)合思想的幾點說明 數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時發(fā)揮著奇特功效，這就要求我們在平時學(xué)習(xí)中加強這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度．具體操作時，應(yīng)注意以下幾點： （一）準確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域； （二）用圖象法討論方程 (特別是含參數(shù)的方程 )的解的個數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意 的是首先要把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個函數(shù)的表達式 (有時可能先作適當調(diào)整，以便于作圖 )，然后作出兩個函數(shù)的圖象，由圖求解．這種思想方法體現(xiàn)在解題中，就是指在處理數(shù)學(xué)問題時，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖象有機結(jié)合起來思索，促使抽象思維和形象思維的和諧復(fù)合，通過對規(guī)范圖形或示意圖形的觀察分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問題得到簡捷解決。 四．數(shù)形結(jié)合思想的幾點應(yīng)用舉例 （一） 數(shù)形結(jié)合在函數(shù)與方程中的應(yīng)用 已知 0?a 且 1?a ,試求使方程 )()( 222lo glo g axaakxa ?? ?有解的實數(shù) k 的取值范圍 . 分析 :利用對數(shù)相等的意義 ,同時構(gòu)造兩個函數(shù) ,通過函數(shù)的圖象有沒有交點進而得出方程有沒有解 ,從而確定出 k 的取值范圍 . 解：原方程等價于 22 a0 xakx ?? 構(gòu)造曲線 C: 22 axy? ,直線 akxyl : ? 從而使問題轉(zhuǎn)化為直線 l 和雙曲線C: )0(222 ??? yayx 在 x軸上半部分有交點，求實數(shù) k 的取值范圍 ,如圖 82所示： 有三條臨界直線 321 , lll x y o l3 l2 l1 圖 82 9 ①當 l 在 1l 和 2l 之間時，直線 l 在 y 軸上的截 距 ak 滿足 0 ?? aka 時， l 與 C 有一個交點， 解之可得 10 ??k ②當 l 在 3l 上方時，直線 l 在 y 軸上的截距 ak 滿足 aka ?? 時 , l 與 C 有一個交點，解之可得 1??k 綜合①②可得，所求 k 的取值范圍是 ? ?101| ???? kkk 或 易錯點分析 : 解方程時很可能擴大 x 的取值范圍 ,另外數(shù)形結(jié)合不會利用雙曲線漸近線 . 說明：數(shù)形結(jié) 合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考綱指出“數(shù)學(xué)科的命題，在考查基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，注重對數(shù)學(xué)思想方法的考查，注重對數(shù)學(xué)能力的考查”，靈活運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，可以有效提升思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)技能。 (二 )數(shù)形結(jié)合在不等式中的應(yīng)用 若不等式 )1(4 2 ?? xkx 的解集為區(qū)間 ? ?ba, ,且 1??ab ,則 k? . 分析： 通過數(shù)形結(jié)合的思想把一個解不等式的問題轉(zhuǎn)化為求一條直線與半圓何時有交點 . 解： 令 21 4 xy ?? , )1(2 ?? xky .其示意圖如圖 83: 若 0?k ,要滿足 21 yy? ,則 2?b ,此時 1?a .從而 2311 3 ???k . 若 0?k ,要滿足 21 yy? ,則 2?a .則
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