數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用(畢業(yè)論文)(編輯修改稿)
2025-06-26 01:39 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 時，我們 時常可以根據(jù)它們 性質(zhì)畫圖來解 . 例 6 ||0 1 | l og | ( )x aa a x? ? ?已 知 ， 則 方 程 的 實 根 個 數(shù) 為. A . 1 個 B . 2 個 C . 3 個 D . 1 個或 2 個或 3 個 解 判斷方程的根的個數(shù)就 是判斷圖象 與 的交點個數(shù)，畫y a y xx a? ?| | | log | 出兩個函數(shù)圖象，由圖 7 易知兩圖象只有兩個交點，故方程有 2 個實根 ,選（ B ） . 圖 7 例 7 方程 lgx+x=3 的解所在 區(qū)間為 （ ） A ． (0， 1) B ． (1， 2) C ． (2， 3) D ． (3， +∞ ) 分析 我們可以把原方程拆分成 函 數(shù) lgyx? 與 3yx?? ? ，求原方程解所在的區(qū)間也就是求這 2 個函數(shù)的交點所在區(qū)間 . logayx? xy a? 圖 8 y=x+3 y=lgx 吉首大學(xué)本科生畢業(yè)論文 7 解 如圖 8 所示， 函 數(shù) y=lgx 與 y=x+3 它們 圖像 交點 的 橫 坐 標(biāo) 0x 顯 然在 區(qū)間 (1， 3)內(nèi) ，由此 可排除 A ， D 至于 選 B 還 是 選 C ，由于 畫圖 精確性的限制， 單 憑直 觀 就比 較 困 難 了． 實際 上 這 是要比 較 0x 與 2 的大?。? 當(dāng) x=2 時 lgx=lg2 3x=1．由于 lg2＜ 1 因此 0x ＞ 2 從 而判定 0x ∈ (2， 3)，故本 題應(yīng)選 C 在上面四個例題中，我們可以知道利用數(shù)和形的各自優(yōu)勢，往往能使我們盡快地找到解題途徑或簡化解題過程，給解題帶來極大的方便 . 數(shù)形結(jié)合 在求不等式問題中的應(yīng) 用 不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)有著重要地位，而不等式的證明又是個難題，它的題型廣泛、靈活 .下面我將從運用代數(shù)式的幾何意義或借助函數(shù)的圖象構(gòu)造幾何圖形入手，利用數(shù)形結(jié)合的思想來巧妙地求解不等式問題 . ． 1 構(gòu)造適當(dāng)?shù)钠矫鎴D形，利用三角形三邊的關(guān)系來證明不等式 我將舉常見的兩個證明題，并且給出詳細(xì)解答步驟，來說明不等式和數(shù)形結(jié)合思想的巧妙結(jié)合 . 例 8 已知實數(shù) 0, 0ab??，請證明如下不等式成立 22222 ?????? ??? baba. 分析： 我們可以構(gòu)造一個四邊形 ，在利用勾 股定理來解 . 證明 ： 如圖 9 所示，作以 a , b 為上、下底， ab? 為高的直角梯形 BCDE ，在圖中有 ,BC AD a C A C E b? ? ? ?. BC A DEabccabd 圖 9 直角梯形 BCDE 則根據(jù)勾股定理有 22AEAB bac ???? 2222BE bac ???? 又因為 CDBE? ，則有如下不等式的成立 baba ???? 222 對上述不等式的兩邊平方可得到 吉首大學(xué)本科生畢業(yè)論文 8 222 )()(2 baba ??? 即原不等式成立得到證明 . 例 9 已知 ,abm 都是正數(shù) ，且 ab? ， 求證 ： a a mb b m?? ?. 分析 要從 不等式 a a mb b m?? ?的結(jié)構(gòu)上觀察，可以聯(lián)想到三角形相似比的問題，因此我們可以 構(gòu)造圖 形來 進(jìn)行證明 . 證明 如右圖 10 所示，構(gòu)造一個直角三角形 ABC ，在邊 AC 上取一點 D ，并且使得 CD b? ， 過點 D 作 DE BC? ，垂足為 E 令 CE a? BE m? .由于 C E B C C E B C B CC D A C C D C D A D C D D F? ? ? ??? 即 構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)圖象性質(zhì)證明不等式 例 10 已知實數(shù) Rcba ?, ，請證明下述不等式的成立 2222 )(31 cbacba ????? 分析 我們可以先把不等式變形，再根據(jù)變形后不等式，聯(lián)想到三角形的重 心 ，這道題將通過引入函數(shù)圖形進(jìn)行數(shù)形結(jié)合對其進(jìn)行證明 . 證明 原不等式等價為 222233 ?????? ????? cbacba 設(shè)二次函數(shù) 2xy? ，則可將 ),(),(),( 222 ccbbaa 看作曲線 2xy? 上的三個點，則原式的左邊 3 222 cba ?? 是三點縱坐 標(biāo)平均值，右邊是橫坐標(biāo)平均值 3 cba ?? 的平方，這樣為由這三個點構(gòu)成的三角形的重心坐標(biāo)為 ???????? ???? 3,3222 cbacba . a b FEAB CDm 圖 10 a a m a mb b AD b m????吉首大學(xué)本科生畢業(yè)論文 9 ABCDMPGxy 圖 11 曲線 2xy? 的圖形 如圖 11 所示，作出函數(shù) 2xy? 的圖形， A、 B、 C 三點在函數(shù) 2xy? 上，分別表示點 ),(),(),( 222 ccbbaa .此時 G 是 ΔABC 的重心， xGP? 軸于 p 且與曲線 2xy? 交于點 M，則有點 G 和 M 的坐標(biāo)為 ???????? ???? 3,3 22
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