歐拉積分的性質(zhì)及其應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-07-21 00:08 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 1 預(yù)備知識為了能夠深入研究歐拉積分的性質(zhì)及其應(yīng)用，必須要先了解與歐拉積分密切相關(guān)的知識內(nèi)容．如無窮積分與瑕積分?jǐn)可⑿缘呐袆e方法、一致收斂的判別方法以及函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)等相關(guān)知識．因此，只有在掌握好預(yù)備知識的前提之下才能更加深入地研究歐拉積分的性質(zhì)及其應(yīng)用．定理1 設(shè)，函數(shù)，且有極限， ．1)若，則無窮積分收斂；2)若，則無窮積分發(fā)散．定理2 設(shè)，有， 是常數(shù)．1) 若無窮積分收斂，則無窮積分也收斂；2)若無窮積分發(fā)散，則無窮積分也發(fā)散． 定理3 無窮積分收斂，無窮積分也收斂． 定理4 設(shè)，函數(shù)，且有極限， ．1)若，則瑕積分收斂；2)若，則瑕積分發(fā)散． 定理5 設(shè)，有， 是正常數(shù)．1)若瑕積分收斂(是瑕點(diǎn))，則瑕積分收斂；2)若瑕積分發(fā)散(是瑕點(diǎn))，則瑕積分發(fā)散．定理6 若，，有，且無窮積分收斂，則無窮積分在區(qū)間一致收斂． 定理7 設(shè)函數(shù)在區(qū)域(，)連續(xù)，則函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)．定理8 設(shè)函數(shù)在區(qū)域(，)連續(xù)，且無窮積分在閉區(qū)間內(nèi)一致收斂，則函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)． 定理9 若函數(shù)與在區(qū)域(，)連續(xù)，且無窮積分在閉區(qū)間上收斂，而無窮積分在閉區(qū)間上一致收斂， 則函數(shù)在閉區(qū)間可微，且．即．2 歐拉積分的性質(zhì) 歐拉積分由兩類含參量積分表示的非初等函數(shù)，第一類型積分稱為貝塔函數(shù)(函數(shù))，即函數(shù)．第二類型積分稱伽馬函數(shù)，即函數(shù)(函數(shù))． 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)稱為函數(shù)(伽馬函數(shù))．關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，主要研究它的定義域、函數(shù)在定義域內(nèi)的連續(xù)性、可微性、函數(shù)相關(guān)的遞推公式、極值與凸性以及函數(shù)的延拓． 性質(zhì)1 函數(shù)的定義域是． 證明 首先將無窮積分改寫為 ．其中，．(i)考察積分，當(dāng)1時，是被積函數(shù)的瑕點(diǎn)，有． 因此，根據(jù)定理4可知，當(dāng)，即時，瑕積分收斂．(ii)考察無窮積．已知對于，有極限．其中，，根據(jù)定理1可知，則，無窮積分都收斂． 綜上可知，瑕積分與無窮積分同時收斂的的公共部分是．于是，函數(shù)的定義域是區(qū)間． 性質(zhì)2 函數(shù)在區(qū)間連續(xù)．證明 首先將無窮積分改寫為．令，．有．，和，使 ．，有．，有．(i)對于積分，有．而積分收斂，根據(jù)定理6可知，則積分在上一致收斂．(ii)對于積分，有 ．而積分收斂，根據(jù)定理6可知，則無窮積分在區(qū)間上一致收斂．綜上可知，積分在區(qū)間上一致收斂．而被積函數(shù)在區(qū)域(+，)連續(xù)，根據(jù)定理8可知，函數(shù)在區(qū)間連續(xù)．于是，函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)．由的任意可知，函數(shù)在區(qū)間連續(xù)．性質(zhì)3 函數(shù)在區(qū)間可導(dǎo)，且．證明 ，,，使．被即函數(shù)與在，連續(xù)，無窮積分在收斂．再考察積分在區(qū)間的一致收斂性，將此積分表示成． (i)考察積分的一致收斂性． 當(dāng)時，有． ． 由上可知，無窮積分收斂．根據(jù)定理6可知，含參變量積分在上一致收斂．(ii)考察積分在的一致收斂性．方法1 當(dāng)，有． ．由數(shù)學(xué)分析知識可知，由洛必達(dá)法則可知．因此．其中，，根據(jù)定理1可知，無窮積分收斂．由定理3可知，無窮積分也是收斂的．根據(jù)定理6可知，積分在上一致收斂． 方法2 當(dāng)時，則有． 由上可知，無窮積分收斂，根據(jù)定理6可知，積分在上一致收斂． 綜上兩種方法都可知，含參變量積分在上一致收斂．根據(jù)定理9可知，函數(shù)在區(qū)間可導(dǎo)，所以，函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，由的任意性可知，函數(shù)在可導(dǎo)．且．類似地可證在閉區(qū)間()上連續(xù)且可在基礎(chǔ)上求導(dǎo)．通過數(shù)學(xué)歸納法可知，對任意正整數(shù)，在上都存在連續(xù)且可在積分號下求導(dǎo)數(shù)，得， ． 性質(zhì)4 遞推公式 ，有． 證明 由分部積分公式，有 = ．設(shè)，逐次應(yīng)用遞推公式，有 ．而．由此可見，只要知道函數(shù)在區(qū)間的函數(shù)值，由遞推公式就能計(jì)算出任意正數(shù)的函數(shù)值． 特別地，，有 ．而，即 ．這是！的一個分析表達(dá)式，函數(shù)就是！的推廣，后者只對自然數(shù)有定義，現(xiàn)已推廣到自變量是任意正整數(shù)的范圍． 性質(zhì)5 函數(shù)在區(qū)間是下凸函數(shù)，且存在唯一一個極小值點(diǎn)． 證明 對，．通過對上述函數(shù)求導(dǎo)，有，=．因此，函數(shù)在時是下凸的且位于軸上方．而，．所以．由性質(zhì)2可知，函數(shù)在區(qū)間是連續(xù)的，因此函數(shù)在區(qū)間也是連續(xù)的．所以在區(qū)間內(nèi)一定有最小值點(diǎn)，且函數(shù)在區(qū)間是嚴(yán)下凸的．由此，函數(shù)在上有唯一一個極小值點(diǎn)落而在在區(qū)間內(nèi)．證明 由遞推公式可得，．當(dāng)時，上式右端有意義，運(yùn)用上式來定義左端函數(shù)在內(nèi)的值，由于，推得此時．利用在內(nèi)有定義，又可定義在內(nèi)值，而這時．依此類推，可把延拓到整個數(shù)軸(除=，，…外)．對于伽馬函數(shù)的性質(zhì)還有余元公式以及勒讓德公式,其中余元公式 設(shè)，則．勒讓德公式 ，有．因?yàn)閿?shù)學(xué)分析教材中已經(jīng)給出了詳細(xì)的證明，這里不再進(jìn)行研究． 函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)=稱為函數(shù)(貝塔函數(shù))．關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，主要也是研究它的定義域、它在定義域內(nèi)的連續(xù)性、可微性、對稱性以及函數(shù)遞推公式． 性質(zhì)1 的定義域?yàn)椋C明 首先將積分改寫為．其中，．(i)首先考察積分，有 當(dāng)時，積分為定積分；當(dāng)時，被積函數(shù)的瑕點(diǎn)是，因?yàn)椋?dāng)，即時，由定理4可知，瑕積分收斂．(ii)再考察積分，有 當(dāng)時，積分為定積分；當(dāng)時，被積函數(shù)的瑕點(diǎn)是，有．當(dāng)，即時，由定理4可知，瑕積分收斂． 綜上可知，當(dāng)且時，瑕積分與瑕積分都收斂，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋? 性質(zhì)2 在定義域內(nèi)連續(xù)． 證明 ，使，
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