定積分的概念及性質(zhì)(編輯修改稿)
2024-09-18 18:59 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 .例2 求.解 .例3 求.解 當(dāng)時(shí)，此極限為型不定式，利用洛必達(dá)法則有.例4 求.解 積分上限是的函數(shù)，所以變上限積分是的復(fù)合函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有.一般地，如果可導(dǎo)，則. (2)—萊布尼茲公式定理3 如果函數(shù)在上連續(xù)，且是在上的一個(gè)原函數(shù)，則 (3)證明 因是在上的一個(gè)原函數(shù)，而 也是在上的一個(gè)原函數(shù)，故，因?yàn)? ， 所以.故 ， 從而，所以有 .在上式中令，則有，即.為了書寫方便，通常用來(lái)表示，即 .定理3稱為微積分基本定理，(3)稱為牛頓萊布尼茲公式，.例5 求積分.解 .例6 求積分.解 .例7 求積分.解 .例8 求積分.解 .例9 求積分.解 .例10 求積分.解 .例11 求積分.解 此題要先去掉絕對(duì)值符號(hào)后才能計(jì)算定積分.因 ，所以1. 變上限的定積分：2. 變上限的定積分的重要性質(zhì)：3. 牛頓—萊布尼茲公式：4．布置作業(yè)（略）教學(xué)目的 熟練掌握定積分的換元法教學(xué)重點(diǎn) 定積分的換元法的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn) 定積分的換元法教學(xué)內(nèi)容牛頓—萊布尼茲公式：.. 定理1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；當(dāng)在上變化時(shí)，在上變化，且，則 . (1)上式稱為定積分的換元公式.這個(gè)公式與不定積分換元法類似，它們的區(qū)別是：不定積分換元求出積分后，需將變量還原為；而定積分在換元的同時(shí)，積分限也相應(yīng)地變化，求出原函數(shù)后不需將變量還原，：換元必須換限.例1 計(jì)算.解 令，則；當(dāng)，；，；則.例2 計(jì)算.解 令，則；又，；，；故.例3 計(jì)算.解 令，則；又，；，；故 .例4 計(jì)算.解 令，則，；當(dāng)，；，；故 .例5 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，證明：(1)若，則；(2)若，則． 證 因?yàn)?，令，則有，故 .(1)當(dāng)時(shí)，；(2)當(dāng)時(shí)， ．本例說(shuō)明了奇函數(shù)、偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分特點(diǎn)，其結(jié)論可直接應(yīng)用.如果用第一換元法(湊微分法)求原函數(shù)，一般不用設(shè)出新變量，因此原積分限不變.例6 計(jì)算.解法1 .解法2 令，則；；；.例7 計(jì)算.解法1 .解法2 令，則，；；； .3．小結(jié)定積分的換元法：若f，j，j162。在相關(guān)區(qū)間內(nèi)連續(xù)，u=j(x)，j(a)=a， j(b)=b， j162。(x)185。0，x206。(a，b) 第一類：= ；x=j(t)，j(a)=a， j(b)=b， j162。(t)185。0，t206。(a，b) 第二類： ．4．布置作業(yè)（略） 教學(xué)目的 熟練掌握
職業(yè)教育相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1