定積分的概念及性質(zhì)(已修改)
2025-09-03 18:59 本頁(yè)面
【正文】 51定積分的概念及性質(zhì)摘要：(3)定積分是一個(gè)數(shù),(略)...關(guān)鍵詞：積分,微積分類別：專題技術(shù)來(lái)源：牛檔搜索（） 本文系牛檔搜索（）根據(jù)用戶的指令自動(dòng)搜索的結(jié)果，文中內(nèi)涉及到的資料均來(lái)自互聯(lián)網(wǎng)，用于學(xué)習(xí)交流經(jīng)驗(yàn)，作品其著作權(quán)歸原作者所有。不代表牛檔搜索（）贊成本文的內(nèi)容或立場(chǎng)，牛檔搜索（）不對(duì)其付相應(yīng)的法律責(zé)任！20教學(xué)目的 理解定積分的概念和性質(zhì),了解定積分的幾何意義教學(xué)重點(diǎn) 定積分的概念教學(xué)難點(diǎn) 定積分概念的理解教學(xué)內(nèi)容不定積分的概念. 引例1 曲邊梯形的面積由連續(xù)曲線（）和及圍成的平面圖形稱為曲邊梯形（如圖51）． 由于曲邊梯形在底邊上各點(diǎn)處的高在區(qū)間上是不斷變化的，因而它的面積不能由公式底高，我們可以先將它分割成若干個(gè)小曲邊梯形，在小曲邊梯形中的變化很小，可以用相應(yīng)的小矩形近似代替，分割的越細(xì)，近似程度就越高，當(dāng)無(wú)限細(xì)分時(shí)，所有小矩形面積之和的極限就是曲邊梯形面積的精確值.根據(jù)以上分析，我們按下面的方法求曲邊梯形的面積.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且.在上任取個(gè)內(nèi)分點(diǎn)：，將區(qū)間分割為個(gè)小區(qū)間: 圖1記每一小區(qū)間長(zhǎng)度為，過(guò)分點(diǎn)作軸的垂線，將曲邊梯形分割為個(gè)小曲邊梯形；設(shè)表示第個(gè)小曲邊梯形的面積，以為底邊，為高作小矩形，則小矩形的面積為，當(dāng)很小時(shí)，有若分點(diǎn)越多，就越小，上式的近似程度就越高，此為曲邊梯形面積的近似值．若用來(lái)表示所有小區(qū)間中的最大區(qū)間長(zhǎng)度，當(dāng)分點(diǎn)數(shù)無(wú)限增大且趨于零時(shí)，該近似值就趨近于曲邊梯形的面積，即. 我們把極限稱之為曲邊梯形的面積． 引例2 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)是連續(xù)變化的且大于零，考慮從時(shí)刻到時(shí)刻所走過(guò)的路程．我們?nèi)匀徊捎梅指畹姆椒ǎ海?）用分點(diǎn)：將時(shí)間區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間: ，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度記為．（2）近似代替：在每一時(shí)間區(qū)間內(nèi)任取一時(shí)刻，則質(zhì)點(diǎn)在該時(shí)間區(qū)間走過(guò)的路程近似為， （3）求和：將每個(gè)時(shí)間區(qū)間上質(zhì)點(diǎn)所通過(guò)的路程的近似值累加起來(lái)，就得到時(shí)間區(qū)間上質(zhì)點(diǎn)所通過(guò)的路程的近似值，即（4）取極限：當(dāng)分點(diǎn)無(wú)限增加時(shí)，記小區(qū)間最大的一個(gè)長(zhǎng)度為，當(dāng)時(shí)，則和式的極限就是質(zhì)點(diǎn)從時(shí)刻到時(shí)刻的路程，即以上兩個(gè)例子的實(shí)際意義不同，但處理問(wèn)題的思想方法是相同的，.定義1 設(shè)函數(shù)在上有定義，任取分點(diǎn)將分成個(gè)小區(qū)間，記為區(qū)間長(zhǎng)度，并在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，得出乘積的和式若時(shí)，和式的極限存在，且此極限值與區(qū)間[]的分法及點(diǎn)的取法無(wú)關(guān)，則稱這個(gè)極限值為函數(shù)在上的定積分，記為，即 . (1)這里稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，叫積分變量，叫積分區(qū)間，稱為積分下限，則說(shuō)在上可積.根據(jù)定義，在上述例中的曲邊梯形的面積用定積分可以表示為；變速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的路程可以表為：.關(guān)于定積分的定義，有以下說(shuō)明：(1)定積分的值只與被積函數(shù)、積分區(qū)間有關(guān)，.(2)定義中要求，若、時(shí)有如下規(guī)定：當(dāng)時(shí)， ，即互換定積分的上、下限，定積分要變號(hào).當(dāng)時(shí)， .在怎樣的條件下，在上的定積分一定存在呢？有下面的定理：定理1 如果在上連續(xù)，則在上可積.
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