【正文】 ?定積分的概念 ?定積分的性質(zhì) 中值定理 ?微積分基本公式 ?定積分的換元積分 ?定積分的分部積分 ?廣義積分與 ?函數(shù) ?定積分的應(yīng)用 第五章 定積分 第一節(jié) 定積分概念 定積分概念 定 積 分 引例：曲邊梯形的面積 設(shè) y=f(x)在區(qū)間 [a,b]上非負(fù)、連續(xù)。求由 曲線 y=f(x) 與直線 x=a,x=b(ab)所圍圖形的面積。 (i)分割： (ii)作積： (iii)求和： iiiiiixfAinixx????? ?)(,2,1],[ 1??似值個小曲邊梯形面積的近得第任取 ?????????niiinii xfAA11)(? x y o y=f(x) b a 1110.,2,1],[1],[?????????????iiiiinnxxxnixxnbxxxanba記個小區(qū)間得，個分點內(nèi)插入在??iii xx ?1? 設(shè)函數(shù) f(x)在 [a,b]上有界， iininxfAxx????????)(lim},m a x {101???，則曲邊梯形面積令 ?(iv)取極限： (i)分割： (ii)作積： (iii)求和： iiiii xfnixx ??? ? )(,2,1],[ 1 ?? 作乘積任取 ?????niii xfS1)(?1110.,2,1],[],[????????????iiiiinnxxxnixxnbxxxaba記個小區(qū)間得，內(nèi)插入若干個分點在??在為函數(shù)則稱該極限總趨于確定的極限時，和上點怎樣取法，當(dāng)分法，也不論在小區(qū)間怎樣，若不論對記)(,0],[],[},m a x {11xfIISxxbaxxiin????? ?? ?(iv)取極限： Y即上的定積分，記作 ,)(],[ ? ba dxxfba這里 f(x)叫做 被積函數(shù) ， f(x)dx叫做 被積表達(dá)式 ， x叫做 積 分變量 ， a,b叫做 積分下限 和 上限 ， [a,b]叫做 積分區(qū)間 。 注意 :(i) ? ? ??????bababaniiiduufdttfdxxfbaxfIxf)()()(],[)()(1記法無關(guān)，即有關(guān)，而與積分變量的及積分區(qū)間僅與被積函數(shù)的極限存在時，其極限當(dāng)和 ?iinibaxfIdxxf ??? ????)(lim)(10??(ii) 上可積。在上的定積分存在，也稱在的積分和。若通常稱為和],[)(],[)()()(1baxfbaxfxfxfniii????2. 可積的充分條件 Y定理 1： 若 f(x)在 [a,b]上連續(xù)，則 f(x)在 [a,b]上可積。 定理 2： 若 f(x)在 [a,b]上有界，且只有有限個間斷點，則 f(x)在 [a,b]上可積。 3. 定積分的幾何意義 數(shù)和。之間的各部分面積的代、的圖形及兩條直線軸、函數(shù)介于bxaxxfxdxxfba??? )(:)(x y o y=f(x) b a + + Y?? 1010 2 dxedxx x及應(yīng)用定義計算解： 316)12)(1(1lim1lim1)(lim1lim)(lim),2,1(,1]10[]1,0[)()1(312321120110 021022???????????????????????????????????nnnninnninxfdxxnininxndxxxxfnninninniiiiniii?????有取等分，則，將存在。上連續(xù)，故在?Y解： 111lim)1(1)(11lim1lim1lim1lim)(lim),2,1(,1]10[]1,0[)()2(11111110110 010??????????????????????????????????????????eeneeeenennenexfdxenininxndxeexfnnnnnnnnininnininniiinixiixxi????? 有取等分，則，將存在。上連續(xù)，故在?第二節(jié) 定積分的性質(zhì) 定積分的性質(zhì) 規(guī)定 ： 性質(zhì) 1： .)()()2(。0)()1(? ???????baabbadxxfdxxfbadxxfba時，當(dāng)時，當(dāng).)()()]()([ ? ?? ??? ba baba dxxgdxxfdxxgxf性質(zhì) 2： .)()( ?? ? baba dxxfkdxxkf性質(zhì) 3： .)()()( ? ?? ?? ca bcba dxxfdxxfdxxf性質(zhì) 4： .1 ?? ??? baba abdxdx性質(zhì) 5： .)0)(,0)(],[ ? ??? ba badxxfxfba （則上，如果在推論： ????? ???????????babababababadxxfxfxfbaxfxfbadxxfxfbaxfdxxfdxxfbadxxgdxxfxgxfba.0)(,0)(,0)(],[)()4(.0)(],[,0)(,0)(],[)()3(.)()()2(.))()(),()(],[)1(則且上連續(xù)，在若上則在且上連續(xù)，在若（則上，如果在性質(zhì) 6 ： （估值定理） ).()()()(],[)(baabMdxxfabmbaxfmMba????? ?則上的最大值及最小值，在區(qū)間分別是函數(shù)及設(shè)性質(zhì) 7： （定積分中值定理） ).()()()(],[],[)(baabfdxxfbabaxfba????? ?? ，使下式成立則至少有一點上連續(xù)，在閉區(qū)間如果例 1 根據(jù)定積分的性質(zhì) ，說明下列積分哪一個值較大： ? ?? ? ?10 1010 10 32 .)1l n (21 dxxx d xdxxdxx 與）（；與）（解： .0]10[.]1,0[)1(101032321010323232? ?? ???????dxxdxxxxdxxdxxxxxx，故上，又在，上連續(xù)，且在及.)1l n (0)1l n (]10[.)1l n ()1l n (]1,0[)1l n ()2(10101010? ?? ????????????dxxx d xxxdxxx d xxxxx故，上，又在，上連續(xù)，且在及例 2： 估計下列積分值 ?? ?? 0241 2 .2)1(1 2 dxedxx xx）（；）（解： .51)1(6)14(17)1()14(21712)1(4124122????????????????dxxdxxx即，.22,22.)2()(,)2()0(,)21()(,0)(2210)(210。0)(21),12()(.]2,0[)()2(02412202412m a x241m i n2222??????????????????????????????????????????edxeeedxeeefxfMeffefxfmxfxxfxxfxxexfexfxxxxxxxx即故又時；當(dāng)時當(dāng)時當(dāng)上的最值在先求例 3： .0s inlim)2(01lim)1(40210??????????x dxdxxxnnnn證明解： （ 利用積分中值定理 ） .0)1(2lim)210()021(11)1( 210??????????????????nnnndxxx原式.0s i n4lim)40()04(s i ns i n)2( 40??????????????????nnnnx d x原式 ?? ?3314542 .a r c t a n2)1( s i n1 x d xxdxx ）（）（??練習(xí)： ，說明下列積分哪一個值較大： ? ?? ? ? 21 21 3210 10 .2)1(1 dxxdxxdxxdxe x 與）（與）（答案： ?? ?????3314542 .32a r c t a n922)1( s i ?????? x d xxdxx ）（）（較大）（較大）（ ?? 21 310 dxxdxe x?一、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)概念 ?二、牛頓 萊不尼茨公式 （微積分基本公式） 第三節(jié) 微積分基本公式 定 積 分 定理 1： 證明： 之間）與介于（則且使以增量給中值定理xxxxfdttfdttfdttfxxxbaxxxxbaxxxxxaxxa??????????????????????????????()()()()()()),(,),().()()()],[)()],[)(bxaxfdttfdxdxbadttfxbaxfxaxa????????（上可導(dǎo)，且在（數(shù)上連續(xù)，則積分上限函在閉區(qū)間如果??一、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)概念 ).()(,0,)。()(,0,).()(,],[)(,0)(bfbxbxafaxaxxfxbaxfxfx????????????????????????則同理可證取若則同理可證取若有上連續(xù)在由令即上的一個原函數(shù)。在就是（上連續(xù)，則函數(shù)在閉區(qū)間如果],[)()()],[)(baxfdttfxbaxfxa???定理 2： （原函數(shù)存在定理） 定 積 分 定理 3： 證明： ).()()(,).()()()()()()(.)(.)()()()()(aFbFdttfbxaFxFdttf