【文章內容簡介】 .......15 利用無窮小量與有界變量的乘積仍為無窮小的結論求解.......16 利用二重積分來計算二元函數的極限.......................16 利用極坐標變換求解....................................17 利用二元函數的泰勒展式求解............................17 ........................................................18 致謝...........................................................18 參考文獻.......................................................20函數極限的求法極限描述了數列和函數在無限變化中的一種趨勢，它體現了從近似認識精確，從有限認識無限，從量變認識質變的數學思想。在數學分析和微積分學中，極限的概念占有重要的地位并以各種形式出現且貫穿全部的內容。極限理論又是研究連續(xù)，導數，積分，級數等的基本工具，是微積分的理論基礎。極限的計算在解決許多實際問題中不可缺少。因此，掌握好極限的求解方法是學習數學分析和微積分學的關鍵一環(huán)。對于如何求極限，怎樣使求極限變得容易，這是讓絕大多數學生較為頭痛的問題。我們如何在準確理解極限的概念、性質和極限存在條件的基礎上，靈活巧妙的運用各種不同的方法解決有關極限的實際問題。本文針對一元函數和二元函數極限，對它們的求解方法進行了歸納總結。定義1 設函數f(x)在Uo(x0,h)(x0的空心h鄰域)內有定義,A為一個確定的常數, 若對任給的正數e,總存在某一正數d, 使得當0xx0d時, 都有f(x)Ae, 記作:limf(x)=A或f(x)174。A(x174。x0), 稱f(x)當x174。x0x174。: x174。x0limf(x)=A219。e0,$d0，使得x,當0xx0d時,總有f(x)A(x0,d)（或U0(x0,d)）內有定義,A為定數, 若定義2 設函數f(x)在U+對任給的e0, 存在正數d, 使得當x0xx0+d（或x0dxx0）時有+f(x)Ae, 則稱數A為函數f(x)當x趨于x0（或x0）時的右(左) 記作: f(x)+=A230。f(x)=231。xlim+174。x232。0230。A246。f(x)=247。和f(x)=A231。xlim174。x248。232。0A246。247。, 或者記作:248。+f(x)174。Ax174。x0和f(x)174。Ax174。()()定義3 設f為定義在D205。R2上的二元函數,P0為D的一個聚點,A是一個確定的實數。若對任意的正數e0, 總存在某正數d, 使得當P206。Uo(P0。d)199。D時, 都有f(P)Ae，則稱f在D上當P174。P0時, 以A為極限, 記作：P174。P0P206。D limf(P)=A（1）當P,P0分別用坐標(x,y),(x0,y0)表示時, 在不產生誤解時, (1)式也常寫作：(x,y)174。(x0,y0)lim f(x,y)=A（2）定義 4 設Ex,Ey204。R , x0是Ex的聚點, y0是Ey的聚點, 二元函數f在集合D=Ex180。Ey上有定義, 若對每一個y206。Ey,y185。y0, 存在極限x174。x0x206。Exlimf(x,y), 由于此極限一般與y有關, 因此記作j(y)=limf(x,y)x174。x0x206。Ex而且進一步存在極限 L=limj(y)y174。y0y206。Ey則稱此極限為二元函數f先對x174。x0后對y174。y0的累次極限, 并記作：L=limlimf(x,y)，y174。y0x174。x0y206。Eyx206。Ex或簡記作：L=limlimf(x,y).y174。y0x174。x0類似地可以定義先對y后對x的累次極限:K=limlimf(x,y).x174。x0y174。求一元函數極限使高等數學的基本運算之一，能夠合理運用解決函數極限的方法至關重要。對求于函數極限問題，從不同的角度思考，從不同角度分析，能得出各種不同的方法。 利用函數極限定義求極限利用函數極限的定義以及不等式證明方法,關鍵是找出和的函數表達式,滿足函數極限定義中的要求。x21= 證明limx174。1x1分析：用“ed”定義驗證limf(x)=A的過程，就是根據給出的e找d的過程，x174。x0就是解不等式的過程。將f(x)Ae經適當的變化（如放大等）0xx0b(e)為為止（b(e)表示僅與常數和有關的表達式），這里d=b(e)證明：這里,函數在點x=1是沒有定義的,但是函數當x174。1時的極限存在或x212e約不存在與它有沒有定義并無關系。事實上, e0 ,不等式x1去非零因子x1后就化為x+12=x1e,因此只要取d=e,那么當x212x1d時,就有x1所以由函數極限定義知：x21lim=174。 利用恒等變形和極限運算法則求極限恒等變形通常是利用提取出因式約簡分式, 分子或分母有理化及三角函數變換等。利用極限運算法則時則應特別注意法則的適用條件即各項極限存在且和, 積運算只能推廣出有限項。例2 求lim1+tanx1+(1cosx)x174。0分析：當x174。0時，分母x(1cosx)174。0，顯然不能運用極限運算法則進行處理，但在x174。0的過程中，x185。0，所以在所求的極限公式中可約去不為零的公因式，在求解中所用的方法就是對分子、分母進行合理的因式分解，約去產生奇異的因子，從而達到化簡求解的目的。解：原式=lim1+tanx(1+sinx)x(1cosx)1+tanx+1+sinxx174。0()sinxsinx1cosx =lim limx174。01+tanx+1+sinxx174。0x(1cosx)1sinx11 =limlim=.2x174。0xx174。 利用迫斂性求極限利用迫斂性求極限，就是利用所謂的夾逼定理，通過確定兩端式子的極限來求解所要求解的極限值。給出夾逼定理：若函數f(x)滿足h(x)163。f(x163。)g(，x)且limh(x)=limg(x)=A，則limf(x)=174。x0x174。x0x174。x0230。1246。11247。=1 +++例3 證明lim231。247。222x174。165。231。x+2x+x248。232。x+1分析：本題函數為無窮級數和的形式，不易用一般方法簡單的求出極限值，故在這里考慮h(x)=xx+x2與g(x)=xx+12的極限值。證明：利用放縮思想，容易看出xx+x2163。1x+12+1x+22++1x+x2163。xx+12而limxx+x2x174。165。=lim11+1xx174。165。=1，limxx+12x174。165。=lim11+1x2x174。165。=1，于是由兩邊夾準則知：230。1lim231。+2x174。165。231。232。x+11x2+2++246。247。=1.247。2x+ 利用兩個重要極限及其推導公式求函數極限Ⅰ第一個重要極限：limsinm(x)sinx=1.=1；其變形為：limm(x)174。0m(x)x174。0x1xx174。0Ⅱ第二個重要極限：lim(1+x)=e；其變形為：lim(1+m(x))m(x)174。0m(x)1m(x)=e230。1246。230。1246。或者lim231。1+247。=e；其變形為：lim231。1+247。m(x)174。165。x174。165。232。x248。232。m(x)248。x= 174。0x 5 分析：先判斷類型，當x174。0時sinx2174。0，故所求極限是“0”型，且不能0消去零因子，現在我們利用第一個重要極限求解。令m(x)=x2，通過變形可得sinm(x).m(x)230。sinx2246。sinx2x247。limx=10=：原式=lim231。247。=limx174。0231。x174。0x174。0xx232。248。例5 求lim(cosx)x172。：先判斷類型，因為cosx174。1,x174。0，故知是“10”型，且不能消去零x，可化簡的第二個重要極限的形式，現在我們利用第2二個重要極限求解。因子，令m(x)=sin2xsin22解：原式=lim(12sin)x172。022x1xsin2252。236。22239。239。233。2x249。=237。lim234。1+(2sin)=172。 利用洛必達法則求解這是目前最常用的求極限的方法之一，最好能與等價無窮小替換相結0165。合，以減少求導的次數。常見的未定式有：型，型，1165。型，165。0型，165。00165。0165。型，165。165。型，后四種未定式能化成前兩種基本型型和型0165。下面是形式語言的變換：0165。（1）165。0=或 165。0=.11165。0（2）①165。1165。2=110201=.01020102 6 230。165。246。 ②165。1165。2=165。1231。12247。=232。165。1248。1165。2165。165。1（3）①1165。=eln1165。=e165。ln1=e=e0ln0=eln11165。ln010.②0=e0ln00.③165。0=eln165。0=e0ln165。=eln165。+cos3x例6 174。psinx分析：當x174。p時，1+cos2x174。0，sinx174。0，顯然是洛必達法則進行求解。0型，故可直接使用01+cos3x1+cos3x3cos2x(sinx)=lim=lim解： lim 39。x174。px174。px174。psinxcosx(sinx)()39。 =lim(3cosxsinx) =3cospsinp=174。 利用函數的連續(xù)性質求解若f(x)在x0連續(xù)，則知limf(x)=f(x0)，即求連續(xù)函數的極限，可歸x174。x0結為計算函數值。常見有以下幾種形式：(1)設f(x)在x=a處連續(xù)，若x174。ax174。alimxn=an174。192。，則limf(xn)=f(limxn)=f(a)及l(fā)imf(x)=f(limx)=f(a)。n174。165。n174。192。(2)設limu(x)=A0，limv(x)=B，u(x)、v(x)在x=a處連續(xù),則x174。ax174。alimu(x)v(x)=limev(x)lnu(x)=eBlnA=174。ax174。a 7例7 求極限limln2(7x6).x174。1230。6246。解：因為f(x)=ln2(7x6)是初等函數，在定義域231。,+165。247。內是連續(xù)的，所以232。7248。在x=1處也連續(xù)，根據連續(xù)的定義，極限值等于函數值。所以limln2(7x6)=f(1)=ln2(76)=174。 利用等價無窮小量代換求解定理:設在自變量的某一變化過程中，a,a162。,b,b162。均為無窮小，又a174。a162。,b174。b162。且 lim(1+a162。)=A，則lim(1+a)b=lim(1+a162。)b162。=x如：當x174。0時，有⑴sinx~x，⑵arcsinx~x，⑶tanx~x，⑷e1~x，1b162。1112xn⑸ln(1+x)~x，⑹1cosx~x，⑺arctanx~x，⑻1+x1~2n例8 求極限lim1+2tanxx174。0.(2)1xln(1x).解：當x174。0時，1+2tan2x~2x2，xln(1x)~lim(1+2tanx)2x174。01xln(1x)12x2=lim(1+2xx174。0)= 利用導數的定義求解利用導數的定義求極限，一般可得lim法要求熟練掌握導數的定義及性質。例9 若函數f(x)在xo點處可導, 且f162。(x0)=3，求極限：h174。0f(x0+kh)f(x0)=kf162。(x0)，此方hlimh174。0f(x0+5h)f(x0).h解：由于f(x)在x0點處可導, 若令Dx=5h，則limh174。0f(x0+5h)f(x0)h=limh174。0f(x0+Dx)f(x0)Dx5=5f162。(x0)= 利用泰勒公式求極限如果函數f(x)在含x0的某個開區(qū)間(a,b)內具有直到n+1階導數, 即f206。Dn+1(a,b), 那么對于x206。(a,b), 有f(x)=f(x0)+f162。(x0)(xx0)+11nnf162。162。(x0)(xx0)2++f()(x0)(xx0)n+o((xx0))2!n!這就是泰勒公式。這是一種非常有效的方法，它實際上已包含了洛必達法則的求解方法，0利用泰勒公式求“ ” 型極限是一種重要而有效的方法, 因為有些此類不0定式運用洛必達法則需要連續(xù)幾次求導, 但用此法較為方便。例10 求極限lim1ex174。：首先要求掌握復合函數的泰勒展式，注意先展里層函數，再展外層函數。其次要把握好將函數展開到適當的階數。本題中很明顯，分母是2階無窮小量，因此，需將函數1ex展開到2階泰勒公式帶皮亞諾余項。解：由泰勒公式可知ex=1+x+121x++xn+oxn 2!n!2()所以ex=1x2+o(x2)2因此1ex11x2+ox2lim=lim=174。0x174。0x2x22(()) 利用微分中值定理求極限若f(x)連