畢業(yè)論文多元函數(shù)條件極值的解法與應用(編輯修改稿)
2025-07-23 00:20 本頁面
【文章內容簡介】 當且僅當時，等號成立.柯西不等式：對于任意實數(shù)和，總有 ,當且僅當實數(shù)與對應成比例時，主要是把目標函數(shù)適當變形，進而“配、湊”成柯西不等式的左邊或者右邊的形式，最終求得極大值或極小值.，求的最值.解 首先將 變形為；再設 ，于是，根據(jù)柯西不等式及已知條件，有 即： 當且僅當 時，等號成立；即當 時，；當 時，所以，. 二次方程判別式符號法,試求的極值.解 因為 ,代入 得即 (1)這個關于的二次方程要有實數(shù)解, 必須即 解關于的二次不等式,得: 顯然,求函數(shù)的極值, 相當于求 (2)或 (3)的極值.由(2)得 (4)這個關于的二次方程要有實數(shù)解,必須,即 解此關于的二次不等式,得 .所以 ,.把 代入(4),得再把,代入(1),得,最后把,代入,得.所以,當,時,函數(shù)達到極大值3.同理可得,當,時,函數(shù)達到極小值3.也可以從(3)作類似討論得出的極大值3和極小值3. 梯度法用梯度法求目標函數(shù)在條件函數(shù)時組限制下的極值，方程組的解,就是所求極值問題的可能極值點.其中表示目標函數(shù)的梯度向量，表示條件函數(shù)的梯度向量 從斜邊之長為的一切直角三角形中,求最大周長的直角三角形.解:設兩條直角邊為,本題的實質是求在條件下的極值問題.根據(jù)梯度法,列出方程組 進一步求解得 容易解出根據(jù)題意是唯一的極大值點,也是最大值點.所以，當兩條直角邊都為時,直角三角形的周長最大. 數(shù)形結合法 數(shù)形結合法是根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義，如直線的截距，點到直線的距離，圓的半徑等幾何性質決定目標的條件極值. 設，求的最值. 解法一 數(shù)形結合法解 設則， 即表示坐標原點到橢圓上的點的距離的平方的2倍顯然最大值為長軸的長38，最小值為 解法二 消元法解 設 ，則 故當，即時，達到最小值.當，即時，達到最大值.解法三 均值不等式法解 （1）若注意到 當且僅當時等號成立因此：，當且僅當時等號成立即 故 ，此時（2）若，設，則問題變?yōu)榍蟮淖钪涤捎?，所以因?
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