畢業(yè)論文多元函數(shù)條件極值的解法與應(yīng)用(完整版)
【正文】 即最大值為38（3）若，做變換，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（1）（4）若，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（2）解法四 拉格朗日乘數(shù)法解 設(shè) 令 則 若 ，則，此時(shí) ；若 ，則，或此時(shí)從該題可以看出，用拉格朗日乘數(shù)法和均值不等式法解題過(guò)程都比較繁瑣，我們可以先分析題目的特點(diǎn)再選擇最合適的解題方法，從而提高解題效率.5. 多元函數(shù)條件極值在理論和實(shí)際中的應(yīng)用舉例多元函數(shù)條件極值在不等式證明、物理、生產(chǎn)銷售、證券投資分析、不能很好地展開條件極值在證券投資分析和多元統(tǒng)計(jì)分析上的應(yīng)用問(wèn)題，具體內(nèi)容可以參考文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[9]，下面只討論條件極值在不等式證明、物理學(xué)、生產(chǎn)銷售上的應(yīng)用. 不等式證明：.證 令，則只需證明函數(shù)在區(qū)域上存在最小值，對(duì)于，令，得，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.由一元函數(shù)取極值的第一充分判斷法，為最小值點(diǎn)，即在曲線上取得最小值，最小值.故在上，即. 物理學(xué)中光的折射定律證明，從點(diǎn)射出的光線折射后到達(dá) 點(diǎn)，已知光在兩介質(zhì)中的傳播速度分別為，求需時(shí)最短的傳播方式.解 設(shè)到平面的距離為，到平面的距離為，（如圖），光線從點(diǎn)射到點(diǎn)所需時(shí)間為，光線從點(diǎn)射到點(diǎn)所需時(shí)間為且，即問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在條件 下的最小值.作拉格朗日函數(shù)令 由此解得，即光線的入射角與折射角應(yīng)滿足：（光的折射定律）時(shí)光線傳播時(shí)間最短. 生產(chǎn)銷售在生產(chǎn)和銷售商品的過(guò)程中，銷售價(jià)格上漲將使廠家在單位商品上獲得的利潤(rùn)增加，但同時(shí)也使消費(fèi)者的購(gòu)買欲望下降，造成銷售量下降，單位商品的生產(chǎn)成本是隨著產(chǎn)量的增加而降低的，因此銷售量、. 用條件極值得出生產(chǎn)成本最小化方案，它們的單價(jià)分別為10元、15元，用單位原料A和單位原料B可生產(chǎn)單位的該產(chǎn)品，現(xiàn)要以最低成本生產(chǎn)112單位的該產(chǎn)品，問(wèn)需要多少原料A和B？【分析】由題意可知，成本函數(shù).該問(wèn)題是求成本函數(shù)在條件下的條件極值問(wèn)題，利用拉格朗日常數(shù)法計(jì)算.解 令解方程組 這是實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，所以當(dāng)原料A和B的用量分別為4單位，2單位時(shí)，成本最低.，當(dāng)宣傳費(fèi)分別為時(shí)，銷售量是，若銷售產(chǎn)品所得利潤(rùn)是銷量的減去廣告費(fèi)，現(xiàn)要使用廣告費(fèi)25萬(wàn)元，應(yīng)如何分配使廣告產(chǎn)生的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？解 依題意，利潤(rùn)函數(shù)為且 設(shè) 令 得 依題設(shè)，存在最大利潤(rùn)，又駐點(diǎn)唯一，因此兩廣告分別投入15萬(wàn)元和10萬(wàn)元利潤(rùn)最大. 一家電視機(jī)廠在對(duì)某種型號(hào)電視機(jī)的銷售價(jià)格決策時(shí)面對(duì)如下數(shù)據(jù)：（1）根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)?shù)貙?duì)該種電視機(jī)的年需求量為100萬(wàn)臺(tái)；（2）去年該廠共售出10萬(wàn)臺(tái)，每臺(tái)售價(jià)為4000元；（3）僅生產(chǎn)1臺(tái)電視機(jī)的成本為4000元；但在批量生產(chǎn)后，生產(chǎn)1萬(wàn)臺(tái)時(shí)成本降低為每臺(tái)3000元.問(wèn)：在生產(chǎn)方式不變的情況下，每年的
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