【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 1 1 0 0 0 0 7 3rrrrrrrrrrr??????? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ???? ? ????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ???? ????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?A 由 ( ) ( ) 3RR??AA,知原方程組有解 ,且有 n ? R(A) ??有 1 個(gè)自由變量 . 先求出相應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 ,令 3 2x? ,解出 4 2 10 1 1x x x? ? ? ? ?， ，,所以齊次線性方程組的通 解 是 :k (?1,?1,2,0)T. 再 求出 非 齊次線性方程組的特 解 ,令 3 0x? ,解出 4 2 13 7 3 14 5 14x x x? ? ? ?， ，,特解為T( 5 14 3 14 0 3 7 )?， ， ， . 所以方程組 的 通 解 是 : TT( 5 14 3 14 0 3 7 ) ( 1 1 2 0)k? ? ? ?， ， ， ， ， ，,k 為任意實(shí)數(shù) . 第 9 頁(yè) 判定向量組的線性相關(guān)性 , 求極大 線性 無(wú)關(guān)組 定理 向量組 n? ? ???， ， ， 線性相關(guān) 的充分必要條件是它們所構(gòu)成的矩陣 ()n? ? ???Α = ， ， ，的 秩小于向量個(gè)數(shù) n；向量組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是 R(A) ??n. 推論 設(shè) 向量組 12 t? ? ?， ， ， 是向量組 A 的一個(gè)部分組 ,且滿足 (1) 向量組 12 t? ? ?， ， ， 線性無(wú)關(guān)； (2) 向量組 A 的任一向量都能由向量組 12 t? ? ?， ， ， 線性表示； 那么向量組 12 t? ? ?， ， ， 便是向量組 A 的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組 . 對(duì)于向量組 n? ? ???， ， ， ,我們要判定其是線性相關(guān)還是線性無(wú)關(guān) ,并求出它的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組 ,只需 以 這組向量 為 列 構(gòu)成 矩陣 ()n? ? ???Α = ， ， ，,進(jìn)行初等行變換 ,化成行階梯形矩陣 R(B) ??n,則此向量組 n? ? ???， ， ， 線性無(wú)關(guān)；若 R(B) ??n,則此向量組線性相關(guān) ,進(jìn)而位于 B 中每個(gè)階梯的最左端的非零元素所在的列對(duì)應(yīng)的原來(lái)向量即是構(gòu)成原向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組 . 例 7 判斷下列向量組的線性相關(guān)性 ,并給出該向量組的一個(gè)極大 線性 無(wú)關(guān)組 . ? ? ? ? ? ? ? ?Τ Τ Τ1 2 3 41 1 4 2 1 1 2 3 3 2 3 1 1 1 3 1 0 0? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?　 　 　 　 ， ， ，. 解 : 把行向量組成矩陣 ,用初等行變換化成階梯形 ,過(guò)程如下 : 112 2 13 3 14 4 1121314 1 2 11 1 4 2 1 1 4 21 1 2 4 0 2 6 233 2 3 11 0 5 15 51 3 10 0 0 2 2 21 1 4 2 1 1 4 21 ()0 1 3 1 0 1 3 1210 1 3 1 0 0 0 0( 3 )50 0 0 0 0 0 0 0+??? ? ?? ? ?? ? ??????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ??? ?? ? ? ??? ?????????　 　　 　 　　 　 　　 　 　　　 　　 　　 　 　 　　 　1213 1 2 1411 ()211( 3 ) ( )522???? ? ? ?????? ?????? ? ??????　　 　　 　 　 　　 　 階梯形矩陣 中 有兩個(gè) 非零行的向量 ,知向量組的秩是 2,可見向量組 1 2 3 4? ? ? ?　 　, , , 　 線性相關(guān) ,非零向量是1 2 11 ()2? ? ??　 　 　，,所以 12??　 　, 是極大線性無(wú)關(guān)組 . 判斷兩向量組是否等價(jià) 如果 向量組 (Ⅰ ) 12 m? ? ?　 　, , , 　 中 的 每個(gè)向量都可 以 由向量組 (Ⅱ ) 12 s? ? ?　 ， 　 ， ， 中向量線性表 出 ,則稱向量組 (Ⅰ )可由 向量組 (Ⅱ )線性表 出 .如果兩個(gè)向量組可以互相線性表 出 ,則稱這兩個(gè)向量組等價(jià) . 第 10 頁(yè) 如果 向量組 (Ⅰ) 可由 向量組 (Ⅱ )線性表 出 ,且 1 2 1 2( ) ( )msRR ?　 　, , , 　 　 ， 　 ， ，? ? ? ? ? ?,則 兩向量組 等價(jià) .因此 ,判斷 兩 向量組是否等價(jià) ,只需要對(duì)以 12 m? ? ?　 　, , , 　 與 12 s? ? ?　 ， 　 ， ， 為列構(gòu)成的矩陣 ()A B 施行初等變換 ,使其化為階梯形矩陣 ,分別得到 R(A),R(B).若 R(A) ?R(B),則向量組 等價(jià) ,否則它們不等價(jià) . 例 8 判斷 下 列 向量組是否等價(jià) . Τ Τ Τ Τ Τ1 2 1 2 3( 1 1 1 1 ) ( 3 1 1 3 ) ( 2 0 1 1 ) ( 1 1 0 2) ( 3 1 2 0)? ? ? ? ? ? ? ?， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，? ? ? ? ?. 解 : 以 1 2 1 2 3 ， ， ， ，? ? ? ? ?為列構(gòu)成矩陣 ()A B ,然后對(duì)它施行初等行變換化成階梯形 : 213 1 2 34 1 4 323 21 3 2 1 3 1 3 2 1 31 1 0 1 1 0 4 2 2 2 2()31 1 1 0 2 0 2 1 1 11 3 1 2 0 0 6 3 3 31 3 2 1 3 1 3 2 1 30 0 0 0 0 0 2 1 1 10 2 1 1 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0rrr r r rr r r rrr r? ? ? ??? ? ? ??? ??? ? ? ?? ????? ?????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?????? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?Α Β1 3 2 1 30 2 1 1 10 0 0 0 00 0 0 0 0??????????? 由階梯形矩陣 可 得 R(A) ?2,容易看出矩陣 B 中有不等于 0 的 2 階子式 ,故知 R(B) ? 2.又 ( ) ( ) 2RR??B A B,則 R (B) ? 2. 因此 R (A)?R (B),所以向量組 12，??與向量組 1 2 3 ， ，? ? ? 等價(jià) 求矩陣的特征值 定義 設(shè) A 是 n 階矩陣 ,若存在數(shù) ? 及 非零的 n 維列向量 ?,使得 ? ????0　 　? ? ?A () 成立 ,則稱 ??是矩陣 A 的特征值 ,稱非零向量 ??是矩陣 A 屬于特征值 ??的特征向量 . 定義 行列式 ()f ????EA稱為矩陣 A 的特征多項(xiàng)式 . 0??E A? 稱為矩陣 A 的特征方程 ,具體形式為 : 11 12 121 22 212( ) 0nnn n nna a aa a afa a a?????? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?EA () 設(shè) A 是 n 階方陣 ,E 是 n 階單位矩陣 ,??是矩陣 A 待求的特征值 ,若對(duì)矩陣 ?E?A,施行一系列的初等列變換 ,可得到下三角矩陣 B(?),令 B(?)的主對(duì)角線上元素的乘積為 0,求得 ?的值即為矩陣 A 的特征值 . 第 11 頁(yè) 例 9 求矩陣 1 4 20 1 01 2 2??????????A 的特征值 . 13221311 4 2 2 4 10 1 0 0 1 01 2 2 2 2 1=1 0 0 0 0 10 1 0 0 1 00 0 1 1 0 02 0 00 1 02 2 2 1 2 ( )21 2 ( 1 ) 0 0 10 1 01 2 1 2 ( 1 )cccccc? ? ? ???????? ? ? ???????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ? ? ?????????? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ? ?????????? ?????　 　EAE解 ：()()??????????????? ????????BQ 令 B(?)的主對(duì) 角線 元素之積為零 ,即 21 2 ( ) ( 1 ) 2 0? ? ? ? ? ?? ? ?,得到矩陣 A 的 特征值 為 1 2 3= = 1 0??，? ? ? . 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 用初等變換法把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形 .用非退化線性 替換 x ??Cy將二次型 f ??xTAx 化為標(biāo)準(zhǔn)形 ,即找一個(gè)非退化矩陣 C,使得 CTAC 為對(duì)角 矩 陣 ,相當(dāng)于 對(duì) A 同時(shí) 作若干次同種形式的初等行變換和初等列變換后 將 A 化為對(duì)角矩陣 .具體步驟如下： (1) 先寫出二次型的矩陣 A,構(gòu)造矩陣 ? ?|AE ； (2) 對(duì) ? ?|AE 進(jìn)行初等行變換 ,再對(duì) A 進(jìn)行同樣的初等列變換 ,當(dāng)子塊 A 化為對(duì)角矩陣 D 時(shí) ,子塊 E 也相應(yīng)地化為 CT； (3) 寫出非退化線性替換 x ??Cy 及二次型的標(biāo)準(zhǔn)形 f ??yTDy. 例 10 化二次型 ? ? 2 2 21 2 3 1 1 2 1 3 2 2 3 3 2 4 4 5 8 5f x x x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ?， ， 為標(biāo)準(zhǔn)形 ,并寫出所用 可逆變換 的 矩陣 . 解 : 寫出此二次型的矩陣 A 與三階單位矩陣 E, 2 2 22 5 42 4 5????