淺談矩陣的秩及其應(yīng)用定稿(編輯修改稿)
2024-07-14 20:11 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 對任意得都成立。由定理2可得出推論,的充要條件是矩陣秩的兩種計算方法及其優(yōu)劣比較 矩陣的秩的兩種計算方法方法一 求矩陣的非零子式的最高級數(shù)由定義知，矩陣的秩為矩陣中存在的非零子式的最高級數(shù)。又根據(jù)命題1可知若一個矩陣的秩為等價于矩陣中有一個級子式不為,我們可以得到計算矩陣的秩的一種方法，若存在級子式不為0,而所有的級子式(如果有的話)全部為0,那么矩陣的秩即為.方法二 進行初等變換由上述定理可知，矩陣的秩等于矩陣行秩或列秩,且由命題2可知矩陣經(jīng)初等變換后矩陣的秩不發(fā)生改變,因此，我們可以得到計算矩陣的秩的另一種方法，利用初等變換將矩陣化為階梯形矩陣,所得矩陣中的非零的行數(shù)或列數(shù)即為矩陣的秩。對于上述所給的例子對于矩陣方法一 因為 所以,又因為該矩陣不存在4級子式,因此得出.方法二 矩陣有3個非零的行向量,因此行秩為3,從而矩陣的秩為3.對于矩陣方法一 因為 所以.對于的3級子式由16種可能,取1,2,4行和1,3，4列計算得 所以.方法二 對于兩種方法,初等變換邏輯性不強,沒有層次感,相比之下求級子式，直接明了易于理解。當(dāng)矩陣階數(shù)時,兩種方法相差無幾,計算量與難度也相差不大。而當(dāng)階數(shù)3時,初等變換法明顯優(yōu)于求矩陣的級子式,并且隨著階數(shù)的增加兩種方法的難度差距也隨之增大。對于階矩陣，若行列式不為零,它的級子式有種可能,級子式有種可能,其他子式的可能情況更多,因而用這種方法的計算量比較大,相對的正確率也比較低,而用初等變換的方法步驟簡練,中間過程比較少,相對來說計算量比較小,出錯的可能性也比較低。因此, 求級子式的方法有局限性，相對而言初等變換的方法優(yōu)于求非零子式最高級數(shù)的方法。矩陣秩的若干性質(zhì) (以下討論的關(guān)系中均為可進行運算的矩陣) 性質(zhì)1 .證明 若能證明,則可證明結(jié)論成立。以為例 令表示的列向量,表示的列向量,計算可得,也就是說， 可以由 線性表出,所以.同樣,可得,因此得出.性質(zhì)2 .證明 令為 的列向量為 則的列向量為.因而可以得的列向量組,可以由,線性表出,即 .結(jié)論成立。性質(zhì)3 .證法一因為 所以
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