淺談分塊矩陣的應(yīng)用-白金挺(編輯修改稿)
2025-07-19 17:02 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 以把簡(jiǎn)單地寫成給了一個(gè)矩陣，可以有各種不同的分塊方法。例如，我們也可以把上面的矩陣分成兩塊：.或者分成六塊：.等等。每一個(gè)分塊的方法叫做的一種分法。根據(jù)矩陣的加法定義，如果,是兩個(gè)矩陣，并且對(duì)于,都用同樣的分法來分塊：, 那么這就是說，兩個(gè)同類型的矩陣，如果按同一種分法進(jìn)行分塊，那么與相加時(shí)，只需要把對(duì)應(yīng)位置的小塊相加。根據(jù)矩陣的數(shù)與矩陣的乘法的定義，如果，是兩個(gè)矩陣，并且對(duì)于，都同樣的分法來分塊：而是一個(gè)數(shù)，那么這就是說，兩個(gè)同類型的矩陣，如果按同一種分法進(jìn)行分塊，那么用一個(gè)數(shù)乘一個(gè)分塊矩陣時(shí)，只需要用這個(gè)數(shù)遍乘各小塊。最常用到的是矩陣的分塊乘法。為了說明這個(gè)方法，先看一個(gè)例子。設(shè),分塊乘法就是在計(jì)算時(shí)，把各個(gè)小塊看成矩陣的元素，然后按照通常矩陣乘法把它們相乘。用例子寫出，就是注意：上面的列的分法和的行的分法是一致的，所以, 有意義，都是矩陣，因而是一個(gè)矩陣。同樣也是矩陣。這樣，結(jié)果是一個(gè)矩陣。我們驗(yàn)證一下，這樣得到的結(jié)果和用通常矩陣乘法得到的結(jié)果是一樣的。設(shè)用通常矩陣乘法得那么顯然也是一個(gè)矩陣。我們只需驗(yàn)證，兩種結(jié)果中對(duì)應(yīng)元素是相等的。我們看的元素。它是的第三行與的第二列的積：與它對(duì)應(yīng)的是中第一行第二列的元素 ，亦即的第一行與的第二列的積加上的第一行與的第二列的積：由于的第一行與的第一行湊起來就是的第三行，而的第二列與的第二列湊起來就的第二列，所以顯然有其它可同樣驗(yàn)證。一般地說，設(shè)是一個(gè)矩陣，是一個(gè)矩陣。把和如下地分塊，是的列的分法和的行的分法一致：這里矩陣右面的數(shù)和分別表示它們左邊的小塊矩陣的行數(shù)，而矩陣上面的數(shù)和,分別表示它們下邊的小塊矩陣的列數(shù)，因而 (1) .那么就有 (2)其中 ， ； .現(xiàn)在來證明，（2）式成立。由于對(duì)和的分法，乘積都有意義，都是矩陣，因而它們的和也是矩陣。于是由式知，式右
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