矩陣的等價-相似-合同的關系及應用(編輯修改稿)
2024-08-20 03:28 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 其中是任意常數(shù)）；(5）；(6）若與相似，則與相似（為正整數(shù)）；(7) 相似矩陣有相同的秩，而且，如果為滿秩矩陣，那么.即滿秩矩陣如果相似，那么它們的逆矩陣也相似.(8）相似的矩陣有相同的行列式；即：如果，則有：(9）相似的矩陣或者都可逆，或者都不可逆；并且當它們可逆時，它們的逆矩陣相似；設，若可逆，.若不可逆，則不可逆，即也不可逆.下面這個性質是一個重要的結論，因此我們把它寫成以下定理 相似矩陣的特征值相同. 相似矩陣有相同的跡、合同和相似之間的聯(lián)系與區(qū)別 矩陣的相似與等價之間的關系與區(qū)別，但等價矩陣未必為相似矩陣．證明： 設階方陣相似，由定義3知存在階可逆矩陣，使得，此時若記, ,則有,因此由定義1得到階方陣等價但對于矩陣,等價，與并不相似，即等價矩陣未必相似．但是當?shù)葍r的矩陣滿足一定條件時，可以是相似的，如下面定理定理 ：對于階方陣，若存在階可逆矩陣 使,(與等價)，且 (為階單位矩陣)，則與相似．證明： 設對于階方陣與,若存在階可逆矩陣,使,即與等價．又知,若記 ,那么,也即,則矩陣也相似． 矩陣的合同與等價之間的關系與區(qū)別：合同矩陣必為等價矩陣，等價矩陣未必為合同矩陣．證明： 設階方陣合同，由定義2得，存在階可逆矩陣，使得， 若記,則有因此由定義1得到階方陣等價但對于矩陣,等價，與并不合同，即等價矩陣未必合同．什么時候等價矩陣是合同的？只有當?shù)葍r矩陣的正慣性指數(shù)相同時等價矩陣是合同矩陣 矩陣的合同與相似之間的關系與區(qū)別合同矩陣未必是相似矩陣 例 單位矩陣 E 與 2E.兩個矩陣的正負慣性指數(shù)相同故合同但作為實對稱矩陣的特征值不同, 故不相似相似矩陣未必合同例如A與B相似，則存在可逆矩陣P使B=P\BP,如果P的逆矩陣與P的轉置矩陣不相等，則相似矩陣不是合同矩陣： 正交相似矩陣必為合同矩陣，正交合同矩陣必為相似矩陣．證明：若存在一個正交矩陣,即使得即，同時有，所以與合同.同理可知，若存在一個正交矩陣，使得即與合同，則有：如果與都是階實對稱矩陣，且有相同的特征根．則與既相似又合同．證明：設與的特征根均為，由于與階實對稱矩陣，一定存在一個階正交矩陣 Q使得同時，一定能找到一個正交矩陣使得，從而有將上式兩邊左乘和右乘,得由于，有，所以，是正交矩陣，由定理知與相似．：若階矩陣與中只要有一個正交矩陣，則與相似且合同．證明：不妨設是正交矩陣，則可逆，取U=A，有，則與相似，又知是正交陣，由合同矩陣的定義知與既相似又合同．：若與相似且又合同，與相似也合同，則有與 既相似又合同．證明: 因為與,與相似，則存在可逆矩陣,，使，令，則且，故與相似．又因為與合同，與合同，故存在可逆矩陣，令而故與合同．4. 矩陣的
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