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正文內(nèi)容

矩陣的等價(jià)-相似-合同的關(guān)系及應(yīng)用(編輯修改稿)

2024-08-20 03:28 本頁(yè)面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 其中是任意常數(shù));(5);(6)若與相似,則與相似(為正整數(shù));(7) 相似矩陣有相同的秩,而且,如果為滿秩矩陣,那么.即滿秩矩陣如果相似,那么它們的逆矩陣也相似.(8)相似的矩陣有相同的行列式;即:如果,則有:(9)相似的矩陣或者都可逆,或者都不可逆;并且當(dāng)它們可逆時(shí),它們的逆矩陣相似;設(shè),若可逆,.若不可逆,則不可逆,即也不可逆.下面這個(gè)性質(zhì)是一個(gè)重要的結(jié)論,因此我們把它寫成以下定理 相似矩陣的特征值相同. 相似矩陣有相同的跡、合同和相似之間的聯(lián)系與區(qū)別 矩陣的相似與等價(jià)之間的關(guān)系與區(qū)別,但等價(jià)矩陣未必為相似矩陣.證明: 設(shè)階方陣相似,由定義3知存在階可逆矩陣,使得,此時(shí)若記, ,則有,因此由定義1得到階方陣等價(jià)但對(duì)于矩陣,等價(jià),與并不相似,即等價(jià)矩陣未必相似.但是當(dāng)?shù)葍r(jià)的矩陣滿足一定條件時(shí),可以是相似的,如下面定理定理 :對(duì)于階方陣,若存在階可逆矩陣 使,(與等價(jià)),且 (為階單位矩陣),則與相似.證明: 設(shè)對(duì)于階方陣與,若存在階可逆矩陣,使,即與等價(jià).又知,若記 ,那么,也即,則矩陣也相似. 矩陣的合同與等價(jià)之間的關(guān)系與區(qū)別:合同矩陣必為等價(jià)矩陣,等價(jià)矩陣未必為合同矩陣.證明: 設(shè)階方陣合同,由定義2得,存在階可逆矩陣,使得, 若記,則有因此由定義1得到階方陣等價(jià)但對(duì)于矩陣,等價(jià),與并不合同,即等價(jià)矩陣未必合同.什么時(shí)候等價(jià)矩陣是合同的?只有當(dāng)?shù)葍r(jià)矩陣的正慣性指數(shù)相同時(shí)等價(jià)矩陣是合同矩陣 矩陣的合同與相似之間的關(guān)系與區(qū)別合同矩陣未必是相似矩陣 例 單位矩陣 E 與 2E.兩個(gè)矩陣的正負(fù)慣性指數(shù)相同故合同但作為實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值不同, 故不相似相似矩陣未必合同例如A與B相似,則存在可逆矩陣P使B=P\BP,如果P的逆矩陣與P的轉(zhuǎn)置矩陣不相等,則相似矩陣不是合同矩陣: 正交相似矩陣必為合同矩陣,正交合同矩陣必為相似矩陣.證明:若存在一個(gè)正交矩陣,即使得即,同時(shí)有,所以與合同.同理可知,若存在一個(gè)正交矩陣,使得即與合同,則有:如果與都是階實(shí)對(duì)稱矩陣,且有相同的特征根.則與既相似又合同.證明:設(shè)與的特征根均為,由于與階實(shí)對(duì)稱矩陣,一定存在一個(gè)階正交矩陣 Q使得同時(shí),一定能找到一個(gè)正交矩陣使得,從而有將上式兩邊左乘和右乘,得由于,有,所以,是正交矩陣,由定理知與相似.:若階矩陣與中只要有一個(gè)正交矩陣,則與相似且合同.證明:不妨設(shè)是正交矩陣,則可逆,取U=A,有,則與相似,又知是正交陣,由合同矩陣的定義知與既相似又合同.:若與相似且又合同,與相似也合同,則有與 既相似又合同.證明: 因?yàn)榕c,與相似,則存在可逆矩陣,,使,令,則且,故與相似.又因?yàn)榕c合同,與合同,故存在可逆矩陣,令而故與合同.4. 矩陣的
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