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正文內(nèi)容

論文冪零矩陣的性質(zhì)與應(yīng)用(編輯修改稿)

2025-02-09 18:17 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 所以為冪零矩陣。因?yàn)闉閮缌憔仃?,所以,知的秩只能為或。?dāng)時(shí),是冪零矩陣;當(dāng)時(shí),有。由的特征值全為零,存在可逆陣,使, 由,知,顯然的特征值全為零,所以是冪零矩陣。又所以是冪零矩陣;因?yàn)樗砸矠閮缌憔仃?。證明:令是冪零矩陣, 使得,令是的相似矩陣,則存在可逆陣,使得,有.即也是冪零矩陣。,若,則,為冪零矩陣。證明:為階冪零矩陣,令分別為它們的冪零指數(shù),取。由,有當(dāng)時(shí),從而,得到當(dāng)時(shí),顯然有,得到所以,即+是冪零矩陣。取,因?yàn)? ,有即也是冪零矩陣。證明:設(shè)是數(shù)域F上的冪零矩陣,其指數(shù)是,則。當(dāng)時(shí),,所以的最小多項(xiàng)式是。故而,特征矩陣的不變因子為,.由的任意性得知,所有指數(shù)為的冪零矩陣的特征矩陣的不變因子是一致的,即數(shù)域F上的所有指數(shù)為的冪零矩陣彼此相似。 矩陣是冪零矩陣的幾個充分必要條件。證明:(必要性)為冪零矩陣, 存在 使得,設(shè)為的任一特征值,則存在維列向量,有.即 由,所以。又由 知,得,即的特征值為。(充分性)由的特征值全為知,的特征多項(xiàng)式為,由引理3得, 所以為冪零矩陣。,跡。證明:(必要性)由是冪零矩陣知,的特征值全為。從而對于任何正整數(shù),的特征值也全為,有(充分性)令的特征值為,則的特征值為,則假設(shè)有不為的特征值,設(shè)為其中的互異的特征值,為相應(yīng)的重?cái)?shù),有,;將上式視為關(guān)于變量的其次線性方程組,由于知,.與假設(shè)矛盾,故的特征值全為,即為冪零矩陣。 冪零矩陣和若爾當(dāng)塊。證明:令為階冪零矩陣,由引理5知,存在可逆矩陣 ,使得其中階數(shù)為.且 取,則且有 即。若令為的冪零指數(shù),則 。若,則 且,由式,得這與矛盾。 故 。 ,則的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的若當(dāng)塊為冪零若當(dāng)塊,且和主對角線上的元素為。證明:為冪零矩陣,由性質(zhì)6,知的特征值全為。由引理5知,在復(fù)數(shù)域上,存在可逆矩陣,使得其中階數(shù)為,由引理6知,為和特征值,又與相似,由引理2知與有相同的特征值,所以。即的主對角線上的元素全為.由引理7知 為冪零矩陣。 冪零矩陣的其他性質(zhì)。證明:令是冪零矩陣、是對角形矩陣, 使得,設(shè)與相似,令 得 則存在逆矩陣,使,有性質(zhì)3知, 所以故 得知.由性質(zhì)6可推出 :對角形的冪零矩陣為零矩陣。,且是的冪零指數(shù),則線性無關(guān)。證明:反證法 假設(shè)線性相關(guān),則存在一組不全為零的數(shù), 使,兩邊同時(shí)右乘,得,而 得知;兩邊同時(shí)右乘,得而,得知;依次下去可得,與假設(shè)矛盾。所以線性無關(guān)。,則非退化。證明:,,至少存在為的特征值,又由引理4得, 為的一特征值。這與為冪零矩陣矛盾。
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