論文冪零矩陣的性質(zhì)與應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-02-09 18:17 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 所以為冪零矩陣。因?yàn)闉閮缌憔仃?，所以，知的秩只能為或。?dāng)時(shí)，是冪零矩陣；當(dāng)時(shí)，有。由的特征值全為零，存在可逆陣，使， 由，知，顯然的特征值全為零，所以是冪零矩陣。又所以是冪零矩陣；因?yàn)樗砸矠閮缌憔仃嚒ＷC明:令是冪零矩陣， 使得，令是的相似矩陣，則存在可逆陣，使得，有．即也是冪零矩陣。，若，則，為冪零矩陣。證明:為階冪零矩陣，令分別為它們的冪零指數(shù),取。由，有當(dāng)時(shí)，從而，得到當(dāng)時(shí)，顯然有，得到所以，即+是冪零矩陣。取，因?yàn)? ，有即也是冪零矩陣。證明：設(shè)是數(shù)域F上的冪零矩陣，其指數(shù)是，則。當(dāng)時(shí)，,所以的最小多項(xiàng)式是。故而，特征矩陣的不變因子為，．由的任意性得知，所有指數(shù)為的冪零矩陣的特征矩陣的不變因子是一致的，即數(shù)域F上的所有指數(shù)為的冪零矩陣彼此相似。 矩陣是冪零矩陣的幾個(gè)充分必要條件。證明：（必要性）為冪零矩陣， 存在 使得，設(shè)為的任一特征值，則存在維列向量，有．即 由，所以。又由 知，得，即的特征值為。（充分性）由的特征值全為知，的特征多項(xiàng)式為，由引理3得， 所以為冪零矩陣。，跡。證明：（必要性）由是冪零矩陣知，的特征值全為。從而對(duì)于任何正整數(shù)，的特征值也全為，有（充分性）令的特征值為，則的特征值為，則假設(shè)有不為的特征值，設(shè)為其中的互異的特征值，為相應(yīng)的重?cái)?shù)，有，；將上式視為關(guān)于變量的其次線性方程組，由于知，．與假設(shè)矛盾，故的特征值全為，即為冪零矩陣。 冪零矩陣和若爾當(dāng)塊。證明：令為階冪零矩陣，由引理5知，存在可逆矩陣 ，使得其中階數(shù)為．且 取，則且有 即。若令為的冪零指數(shù)，則 。若，則 且，由式，得這與矛盾。 故 。 ，則的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的若當(dāng)塊為冪零若當(dāng)塊，且和主對(duì)角線上的元素為。證明：為冪零矩陣，由性質(zhì)6，知的特征值全為。由引理5知，在復(fù)數(shù)域上，存在可逆矩陣，使得其中階數(shù)為，由引理6知，為和特征值，又與相似，由引理2知與有相同的特征值，所以。即的主對(duì)角線上的元素全為．由引理7知 為冪零矩陣。 冪零矩陣的其他性質(zhì)。證明：令是冪零矩陣、是對(duì)角形矩陣， 使得，設(shè)與相似，令 得 則存在逆矩陣，使，有性質(zhì)3知， 所以故 得知．由性質(zhì)6可推出 ：對(duì)角形的冪零矩陣為零矩陣。，且是的冪零指數(shù)，則線性無關(guān)。證明：反證法 假設(shè)線性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù)， 使，兩邊同時(shí)右乘，得，而 得知；兩邊同時(shí)右乘，得而，得知；依次下去可得，與假設(shè)矛盾。所以線性無關(guān)。，則非退化。證明：，,至少存在為的特征值,又由引理4得, 為的一特征值。這與為冪零矩陣矛盾。
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