矩陣不等式的擴(kuò)充與某些性質(zhì)(編輯修改稿)
2024-09-14 16:45 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 +D7） AB BC AC8） A0 (A0) B0 (B0)且AB=BA,則AB0(AB0)9） ABA+CB+C由引理3的性質(zhì)1） 可得A，B則，則ABAB由引理3的性質(zhì)4） 可得A，則A0 A0A=0定理4：設(shè)A，B，則AB的充要條件是：對任意nm列滿秩矩陣P都有。證明：必要性 === x,x0由于P列滿秩 Px0 = 此即 充分性 即 x,x0 0 由于 p的任意性知 AB0 即 AB引理：設(shè)A，B，C，D,則 1)如果AB, C0，且AC=CA, BC=CB,則 ACBC； 如果AB, C0,且AC=CA, BC=CB,則 ACBC。 2)如果AB0, CD0,且有AC=CA, BD=DB, AB=BA或BC=CB,那么ACBD。 3)如果A0,則。定理6:如果A,B A,B0且AB=BA,那么 。證明:充分性:A0,B0,且AB 由引理3的2)可知 必要性: (AB)0 ① 由于A0,B0 則可知0 從而存在。 ①式兩邊同乘以,則可得AB0,即AB。定義:設(shè)0,則=。 O,則=。定理7:設(shè)AB或AB,且AB=BA,則。證明: 即 。定理8: 設(shè)n階實矩陣 或,且,則。證明:由于 或, 且 ,所以,則存在唯一正定矩陣,使,所以有意義。而由定理6
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