矩陣不等式的擴(kuò)充與某些性質(zhì)(文件)
【正文】 陣不等式 交換引言 對于n階實對稱矩陣A，如果對任意的x，且x≠0,都有，則稱A為正定矩陣，記為A0；如果對于任意x，都有，則稱A為半正定矩陣，記為；如果對任意的x，且x≠0，都有，則稱A為負(fù)定矩陣，記為A0；如果對任意的x，都有，則稱A為半負(fù)定的，記為A。如果總存在,使, ,則稱A為不定矩陣。表示n階實矩陣空間。 其中S(A)=(+,K(A)= ，則。引理2 A，B，如果K（A）=K（B），則AB是對稱矩陣。這里當(dāng)n為1時，所定義的不等式便是實數(shù)不等式，當(dāng)n大于或等于2時，所定義的不等式便與一般不等式有所不同，這里的大于或小于僅是一種記號，表示正定或負(fù)定，是矩陣中的一種偏序，而不是一般意義下的大小。就算AB是對稱矩陣也不一定能比較大小。證明：必要性 === x,x0由于P列滿秩 Px0 = 此即 充分性 即 x,x0 0 由于 p的任意性知 AB0 即 AB引理：設(shè)A，B，C，D,則 1)如果AB, C0，且AC=CA, BC=CB,則 ACBC； 如果AB, C0,定理6:如果A,B A,B0且AB=BA,那么 。 O,則=。證明:由于 或, 且 ,所以,則存在唯一正定矩陣,使,所以有意義。 對于正定矩陣A和B,如果A=B,則稱B為A的2k次方根，記為B=。相對應(yīng)的一特征值向量為, 則 不成立。證明:由例3可得 同理可得
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