【文章內(nèi)容簡介】 塊矩陣證明矩陣秩的問題，一般采用兩種方法，一是利用已知矩陣作為元素來拼成高級數(shù)的矩陣來證明，如例1；另一種方法是將已知矩陣拆成低級數(shù)的矩陣來證明，很大一部分相關矩陣秩的問題都可以用分塊矩陣來證明.分塊矩陣在線性相關性及矩陣的分解中的有著廣泛的應用，解題方法技巧性強，. (行)向量線性相關性命題1[8] 矩陣的列線性無關的充分必要條件是只有零解. 證明 　令,其中是的列向量，且即也即若線性無關,則有=…,只有零解，反之亦成立. 例3 矩陣列線性無關,求證:列線性無關的充要條件是列線性無關.證明 ,即，記,則, ∵列無關，須,即,又列無關，須，從而列無關.，兩邊左乘，則，即，∵列無關，∴，從而列無關. 推論 設， (1)的列線性相關(即)的充要條件是存在≠,使。 (2)的行線性相關(即)的充要條件是存在≠,使. 證明 （1）設有，(),為的列向量,=,且，使=，即（），∵，而啊,由命題1，的列線性相關. ，存在使，作（），則，故. 類似可證(2). 命題 2[9] 設(), （1）使則。 （2）使則。 （3）使. 證明 使 PAQ∴A（1）將與作如下分塊: ，則（2）令，∵令，即得 ,（3）因為,即得, .矩陣的列（行）向量相關與無關性的問題很顯然都會涉及到利用矩陣分塊，因為矩陣的列（行）都可看作是矩陣的子塊，對于處理矩陣的分解問題也是一樣，在線性代數(shù)中還有很多問題都可類似的通過分塊矩陣來解決.第4章 分塊矩陣在計算方面的應用 分塊矩陣在求逆矩陣方面的應用 命題1[10] 設是一個四分塊方陣，其中為階方陣, 為階方陣,當與都是可逆矩陣時，則是可逆矩陣，并且 特例 當，與都可逆時，有. 當，與都可逆時，有 當，與都可逆時，有 證明 設可逆，且，其中為階方陣，即 ， 于是得到下面的等式因為可逆，用右乘式可得代入式得 則.用右乘式可得 代入式得則 可得+.所以.命題2 設是一個四分塊方陣，其中為階方陣，為階方陣，當與（）都是可逆矩陣時，則是可逆矩陣,并且 =特例 （1） 當，與都可逆時，有 （2） 當，與都可逆時，有 （3） 當，與都可逆時，有. 此結論參考命題1. 例1 設M，求. 解 令，，. 則很容易求得，且由命題2可得，例2 求矩陣的逆矩陣.解 設，，.則，由命題一可得：.本節(jié)主要講述了欲求一個矩陣的逆矩陣，先將該矩陣分成四小塊，,再具體運用. 分塊矩陣在行列式計算式方面的應用　　在線性代數(shù)中 ,分塊矩陣是一個十分重要的概念 ,它可以使矩陣的表示簡單明了 ,使矩陣的運算得以簡化. 而且還可以利用分塊矩陣解決某些行列式的計算問題. 而事實上 ,利用分塊矩陣方法計算行列式 ,時常會使行列式的計算變得簡單 ,并能收到意想不到的效果[11]. 本節(jié)給出利用分塊矩陣計算行列式的幾種方法.引理 設矩陣H或H其中均為方陣，則.|H|的計算命題 1 分別為與階方陣. 證明 :(1)當可逆時 ,有 (2)當可逆時 ,有= 證明 根據(jù)分塊矩陣的乘法 ,有由引理知，兩邊取行列式即得. 根據(jù)分塊矩陣的乘法 ,有，但在利用命題1時,要特別注意條件有矩陣或可逆，否則此命題不適用，下面給出此命題的應用.推論1　設分別是和矩陣. 證明 證明 只需要在命題的中令, 即得。在中令,即得.推論2 證明 在推論1的中,令,在中,令,即得.例3 計算下面階行列式解 令,，,從而由命題中得 =.例4 計算行列式解 設，其中,，.從而由命題中的結論得（2）設Q，其中B（c），C，D由于 從而由推論知,.|H|的計算 命題 2 |A+C||AC|證明 根據(jù)行列式的性質(zhì)和定理，有 .例1 計算行列式.解　這道題看似簡單 ,但如果方法選擇不好,做起來并不輕松. 這里設，由命題2知 行列式的計算是線性代數(shù)中的一個重要內(nèi)容,本節(jié)就行列式的計算問題具體就形如（分別是和矩陣）的類型的行列式計算進行了分析，其中將一個行列式分塊成后，又細分為幾種情況進行了討論，依據(jù)不同的情況給出了不同的計算方法，在計算行列式時可根據(jù)這幾種不同的情況具體問題具體對待，利用分塊矩陣計算行列式主要是靠分塊矩陣來改變原來矩陣的級數(shù)從而達到簡化計算過程，快速解決問題的目的.結 論本文通過大量的例題對分塊矩陣在計算與證明兩方面的應用進行了總結分析，在證明方面，涉及了矩陣秩的相關問題以及矩陣列(行)向量線性相關性等問題，在證明線性相關問題上，利用分塊矩陣可以很清晰地描述線性方程組的解與其相關內(nèi)容，對一些具體的解與矩陣行（列）向量組線性相關性之間的關系給出了結論；在計算方面利用分塊矩陣這一工具我們主要解決了求逆矩陣與求高級行列式的問題，在求逆矩陣方面，本文著重論述了將一個高級矩陣進行矩陣分塊分成二級矩陣后，通過討論四子塊的各自特點來求原矩陣逆矩陣的快捷方法，充分體現(xiàn)了分塊矩陣在代數(shù)計算與證明方面所具有的一定的優(yōu)越性，也給出了分塊矩陣和矩陣分塊在代數(shù)學中所具有的重要地位，當然在對分塊矩陣的應用的論述上本文并不是所有類型的證明與計算都進行了討論，所以在應用的完整性上還有待改進，并可以繼續(xù)進行