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正文內(nèi)容

伴隨矩陣的若干性質(zhì)及應(yīng)用(編輯修改稿)

2024-07-21 19:25 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 . 伴隨矩陣的特征值設(shè)矩陣;當(dāng)為降秩矩陣時(shí),那么伴隨矩陣的個(gè)特征值至少有個(gè)為0,而且另一個(gè)不等于零的特征值若存在,則等于.證明 因?yàn)闉闈M秩矩陣,所以為可逆矩陣也即,此時(shí)矩陣的特征值均不為零,且的個(gè)特征值為,再由可得,伴隨矩陣有個(gè)特征值為 ; ①當(dāng)秩 時(shí),此時(shí),秩,所以因此 可推得0,0,…,0為伴隨矩陣的特征值此時(shí)結(jié)論成立. ②當(dāng)秩時(shí),此時(shí),秩,那么設(shè)的特征值為由若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形知,存在可逆矩陣,使得 , 其中為的全部特征值因?yàn)?,不妨設(shè)則上式為 從而 .例1設(shè)為階可逆矩陣,為的伴隨矩陣,為階單位矩陣,若有特征值,則必有特征值什么?解 由性質(zhì)知,有特征值,必有特征值,從而必有特征值+1. 如果是可逆矩陣,且證明 因?yàn)?,則存在可逆矩陣,使得 把上式兩邊同時(shí)取行列式得, 又由于可逆,故,從而,即也是可逆的,所以, 由,則 因此 因?yàn)?,則把兩端同時(shí)乘以得,所以,.例1設(shè)、為三階相似矩陣,的特征值為1,1,3,求.解 因?yàn)榈奶卣髦禐?,1,3, 故,所以 的特征值為,又因?yàn)?,所以,所?的特征值為3,3,1, 所以. 如果是可逆矩陣,且證明 由題中矩陣合同,因此存在可逆矩陣,使 ,等式兩邊分別取行列式,得 因?yàn)槭强赡婢仃?,所以,從而,而又因?yàn)椋? 令 則= , 從而 , 故, 從而 所以,所以也合同. 若是可逆的對(duì)稱矩陣,則它的伴隨矩陣也是可逆的對(duì)稱矩陣 ,它的伴隨矩陣也是數(shù)量矩陣; ,則它的伴隨矩陣也是對(duì)角矩陣. 若是上(下)三角矩陣,且是可逆的,則也是上(下)三角矩陣?yán)?設(shè),故,所以是可逆的,所以是可逆的,且為上三角矩陣. 當(dāng)階實(shí)矩陣是半正定時(shí),則它的伴隨矩陣也是半正定的證明 由于是半正定的,因此存在實(shí)矩陣,使
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