【文章內(nèi)容簡介】 ? ? ? ? ?? ? ?R A B R A R B r,由此可知 ? ?R A r . 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELOR ’S THESIS 11 (Ⅰ ) 設(shè) A 為 mn? 階矩陣 , (1) ? ? ? ?? Tr A r A . (2) ? ? ? ? 0 00 ??? ? ?? krAr kA k. (3) ? ? ? ??r A r A . (4) ? ? ? ?? ?? ?1 1 0 1當(dāng) 當(dāng) 當(dāng)??????? ??kn r A nr A r A nr A n. (5)設(shè) P 是 m 階可逆陣 ,Q 是 n 階可逆陣 ,則 ? ? ? ? ? ???r P A r A Q r A. (6) ? ? ? ??Tr A r A 。特別地 ,當(dāng) mnAR?? 時 ,有 ? ? ? ??Tr A A r A. (1)— (5)的證明略 [10] 證明 :方法 1,運 用 BiCauchy 公式 .設(shè) nmAF?? ,設(shè) ? ??r A r , 那么 存在 110rrllA jj???????,然 而所有 s 階子式 sr?（ ） 都 為零 .記 ? ?C AA?? ,則C 的 r 階子式 111 1 1 1 11 1 1 1 1 0rrr r r r rl l m l l mr r r r rl l j j l l l l l lC A A A Aj j l l j j j j j j? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 因此 ? ??r C r .對于 C 的任意 s 階子式 sr?（ ） 11 1 111 1 1 0ss s sl l ms s si i i i l lC A Aj j l l j j? ? ?? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? 所以 ? ??r C r ,故 ? ??r C r . 方法 2,設(shè) mnAF?? , ? ? ? ??? Tr A r r A,那么 存在可逆矩陣 Q ,使得 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELOR ’S THESIS 12 ? ?,0AQ C? 。其中 11 11rm mraaCaa???????,且 ? ??r C r 所以0CQA ?????????? 故 ? ? ? ? ? ?0, 0 ( )0 0 0? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?TTTTC C Cr A A C r r C C 111 1 111 01 1 1? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?????rr r r rTT l l m l l mrr l l l l l lC C C C A All r r r 所以 ? ? ??TTr A A rC C r. 方法 3,記 0AX? 的解空間 是 V , 0AAX? ? 的解空間 是 W ,那么 VW? . 設(shè) XW? ,則 0XAAX?? ? .記 ? ?12, , , mA X Y y y y ??? , 則 1 1 2 20= mmY Y y y y y y y? ? ?? ? ? ? ?.所以 0,1iy i m? ? ? .所以 XV? .這樣 VW? . 故 ? ? ? ? ? ? ? ?d im d im? ? ? ? ?Tr A A n W n V r A. (Ⅱ ) (1) ? ? ? ?0 =0?? ?????Ar r A r BB (2) ? ? ? ?0????????Ar r A r BCB 證明 : (1)(2)證明見文獻 [11]. (3)設(shè) m n n lA F B F????,則 ? ? ? ?? ?( ) m in ,?r A B r A r B. 證明： 方法 1,設(shè) ? ??r A r ,當(dāng) sr? 時 , 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELOR ’S THESIS 13 11 1 111 1 1 0ss s Si i ns s si i i i l lA B A Bj j l l j j? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? 所以 ? ?()??r AB r r ? ?()?r AB r B 方法 2,設(shè) ? ??r A r , 00, ( ) ( )0 0 0 0? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?rsEEA P Q r A B r Q B r 設(shè) ? ??r B s ,1 1 100, ( ) ( )0 0 0 0? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?ssEEB P Q r A B r A P s 方法 3,設(shè) ? ??r A r , ? ??r B s .那么 存在可逆矩陣 ,PQ,使 r0CPA ???????, ? ?s 0BQ D? 成立 . 所以 ? ?? ? ? ?rs 0( ) ( ) 0 = ( ) ,0 0 0（ ）? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?C C Dr A B r P A B Q r D r r s 方法 4,設(shè) ? ? ? ?1 2 n , ij nsA A A A B b??. 則 ? ?n n n1 1 1 2 11 1 1, , ,l l j ll l lA B b A b A b A? ? ?? ? ? ?.所以 AB 的列向量可以由 A 的 列向量線性表 現(xiàn) ,故 ? ?()?r AB r A . 考慮 AB 的行向量 ,可得 ? ?()?r AB r B . 方法 5,記 0BX? 的解空間是 V , 0ABX? 的解空間是 W ,則 VW? .故 ? ? ? ? ? ?dim dim ( )ra nk B l V l W ra nk A B? ? ? ? ?. 同理 ,考慮 0BAX??? 與 0AX? ? ,可得 ? ? ? ??r A r AB . 方法 6,[12]取 l 維線性空間 V 的一個基 ? ?12, , ,? ? ?l ,n 維線性空間 U 的一個基12,n? ? ? ,m 維線性空間 W 的一個基 1 2 m,? ? ?， .設(shè)線性映射 A A? 對 ,線性映射B B? ,即 ? ?12, nA ? ? ? ?? ?1 2 m,，? ? ? A, 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELOR ’S THESIS 14 B ? ?12, , ,? ? ?l 12( , , )? ? ?? n B 因為 ? ??mmI AB IA,所以 ? ? dim?rA ?(I AB)m dim (IA)m ? ??rA . 另一方面 ,因為 ? ??KerB Ker AB,所以 ? ? dim?rB ?(I )mB dim?l ? ??KerB dim?l ? ?Ker AB dim? ? ?mI AB ? ??r AB 方法 7,用塊的初等變換 0000??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?A A A B A BE B E E 又 由于 00() （ ）? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?AArrE B E E,事實上 B 的列向量可 由 E 的列向量線性表 示 ,所以 0??????AEB列向量可 用 0??????AEE線性表示 . 因此 , ? ? ? ?00()0?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?A B Ar A B n r r r A nE E E, 故 ? ? ? ??r AB r A ,同理可證 ? ? ? ??r AB r B 方法 8,因為 ? ? ? ?, 0 ,0???????EBA A A BE, 所以 ? ? ? ? ? ? ? ?, , 0? ? ?r A B r A A B r A r A. 因為 00? ?? ? ? ??? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?E B BA E AB,所以 ? ? ( ) ( ) r ( )0? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?BBr A B r r BAB. (4) ? ? ? ? ? ?, ??r A B r A r B. 證明 :方法 1,設(shè) ? ??r A r ,即 A 的列向量的極大無關(guān)組含 r 個向量 .所以 ,做列的初等變換可使 A 除去 r 列外 都 為零 。設(shè) ? ??r B s . 同理 可 用列的初等變換使 B 除 s 列外 都 為零 .所以 ,做列的初等變換可使 ? ?,AB除 ?rs列外全為零 .故 ? ? ? ? ? ?, ? ? ? ?r A B r s r A r B. 學(xué) 士 學(xué) 位 論 文 BACHELOR ’S THESIS 15 方法 2,設(shè) ? ??r A r , 12, , ,i i irA A A 為 A 的列向量的極大線性無關(guān)組 . 設(shè) ? ??r B s , 12, , ,j j jsB B B 是 B 的列向量的極大線性無關(guān)組 ,則 ? ?,AB 的列向量可 用 12, , ,i i irA A A , 12, , ,j j jsB B B 線性表 出 ,故 ? ? ? ? ? ?, ? ? ? ?r A B r s r A r B. 方法 3,設(shè) ? ??r A r ,則齊次線性方程組 0? ?AX 含 有 r 個獨立的方程 . 設(shè) ? ??r B s ,則齊次線性方程組 0? ?BX 具 有 s 個獨立的方程 . 這樣 0?????????A XB的獨立方程的個數(shù)至多為 ?rs個 . 所以 ? ?, ???? ? ??????Ar A B r r sB . 方法 4,設(shè) 0?????????A XB的解空間為 V , 0? ?AX 的解空間為 W , 0? ?BX 的解空間為U ,則 WU. 因為 ? ? ? ? ? ? ? ?dim dim dim dim? ? ? ?W U W U W U,所以 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?, d im d im d im???? ? ? ? ? ? ? ??? ???Ar A B r m W U m U W U mB? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?dim dim?