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連續(xù)性概念的發(fā)展從距離刻畫到拓撲刻畫(編輯修改稿)

2025-10-22 16:43 本頁面

　

【文章內容簡介】域W,都存在在R的一個鄰域U，使得,也就是使得只要xU就有W。這樣，就在歐式空間中建立了足以刻畫映射的連續(xù)性的一般的鄰域的概念。然而，從技術細節(jié)上來說，一般鄰域的概念還有些缺陷，于是數(shù)學家為了完善鄰域概念，又進一步定義出了開鄰域的概念。首先定義了開集，然后，開集是它的每一點的開鄰域。在歐式空間中，開集是這樣定義的：設OR，若對任一點xO，都存在一個r0使得O,就說O是R的開集。進一步，設xR而O是R中包含點x的開集，就說O是點x的一個開鄰域。采用開鄰域的概念，映射f ：RR在連續(xù)又可以描述為：任給在R的一個開鄰域B,都存在在R的一個開鄰域O使得f(O) B。從上面可以看到，這里面要緊的概念是開集。開集對于他的每一點來說都是鄰域。事實上，我們可以只用開集的概念來描述連續(xù)性：映射f ：RR在連續(xù)當且僅

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