正定矩陣及其應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-07-23 19:55 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 為合同的，如果有數(shù)域上可逆的矩陣，使 合同是矩陣之間的的一個關(guān)系，不難看出，合同關(guān)系具有:（1） 反身性：（2） 對稱性：由即得（3） 傳遞性: 由和 即得 設(shè)是兩組文字，系數(shù)在數(shù)域中的一組關(guān)系式 （2）稱為由到的一個線性替換，或者簡稱線性替換，如果系數(shù)行列式 那么線性替換（2）稱為非退化的. 設(shè)是一數(shù)域. 一個系數(shù)在數(shù)域中的的二次齊次多項式 (3) 稱為數(shù)域上的一個元二次型，或者，在不致引起混淆時簡稱二次型.令 ，由于 ，所以二次型（3）可以寫成 （5）把（5）的系數(shù)排成一個矩陣，它就稱為二次型（5）的矩陣. 令于是，二次型可以用矩陣的乘積表示出來 .故 在數(shù)域上，任意一個對稱矩陣都合同于一對角陣. 即，對于任意一個對稱矩陣A都可以找到一個可逆矩陣使成對角矩陣. 二次型經(jīng)過非退化的線性替換所變成的平方和形式稱為二次型的一個標準形. 即為二次型的標準形. 任意一個復(fù)系數(shù)的二次型，經(jīng)過一適當?shù)姆峭嘶€性替換可以變成規(guī)范形. 且規(guī)范形是唯一的. 即任一復(fù)數(shù)的對稱矩陣合同于 的對角陣. 實二次型經(jīng)過某一個非線性替換，可使 變成標準形 ，再做一次非退化線性替換就變成 ，稱為實二次型 的規(guī)范形. 3正定矩陣在二次型中，正定二次型占有特殊的地位. 作為本章的開始，我們給出了它的定義，引出正定矩陣的定義. 正定矩陣同樣占有非常特殊的地位，我們給出了正定矩陣的判定定理. 在實二次型 的標準型形中，正平方項的個數(shù)稱為 的正慣性指數(shù)；負平方項的個數(shù)稱為 的負慣性指數(shù)；它們的差稱為 的符號差. 實二次型 稱為正定的. 如果對于任意一組不全為零的實數(shù) 都有 . 元實二次型 是正定的充分必要條件是它的正慣性指數(shù)等于. 正定矩陣的行列式大于零. 在階矩陣中任選行，再取相同行號的列，所選取的行列交匯處的個元素組成的新的矩陣稱為階矩陣的一個階主子式. 子式 ，稱為矩陣的順序主子式. 實二次型 是正定的充分必要條件為：矩陣的順序主子式全大于零. 若對于方陣存在一個非零向量和實數(shù)，使得成立. 則稱為矩陣的特征值，稱為相對于的特征向量. 設(shè)實二次型（為對稱矩陣). 如果對于任意的，有，則稱該二次型為正定二次型. 矩陣為正定矩陣.注：本文所討論的都為實正定矩陣. 實對稱矩陣為正定矩陣的充分必要條件是：存在可逆矩陣，使得. 證明 必要性 因為矩陣為正定矩陣，所以矩陣合同于單位矩陣，即存在可逆矩陣，使得， 即，若我們記，則有 充分性 設(shè)存在可逆矩陣使得，則對任意 ， 有，若我們記. 則，所以矩陣為正定矩陣. 實對稱矩陣為正定矩陣的充分必要條件是：存在可逆矩陣，使得. 證明 充分性 因為矩陣為正定矩陣，所以矩陣對應(yīng)的是正定二次型. 因此可以經(jīng)過非退化線性替換. 其中. 使得所以有. 必要性 存在可逆矩陣使得 ，則其對應(yīng)的二次型 因為正定二次型，所以也為正定二次型. 所以其對應(yīng)的矩陣為正定矩陣. 實對稱矩陣為正定矩陣的充分必要條件是：矩陣的正慣性指數(shù). 證明 充分性 因為矩陣為正定矩陣. . 所以矩陣的正慣性指數(shù)為. 必要性 因為矩陣的正慣性指數(shù)為，. 因此矩陣為正定矩陣. 實對稱矩陣為正定矩陣的充分必要條件是：矩陣的所有順序主子式都大于零. 證明 充分性 因為矩陣為正定矩陣，所以矩陣對應(yīng)的二次型為正定二次型. 則構(gòu)造函數(shù)也為正定二次型. 所以其對應(yīng)的矩陣順序主子式為正定矩陣，即. 所以正定矩陣的所有順序主子式都大于零. 必要性 因為矩陣的所有順序主子式都大于零，所以矩陣的任一順序主子式對應(yīng)的二次函數(shù)都為正定二次型. 因此當時對應(yīng)的二次型為正定二次型. 即對應(yīng)的矩陣為正定矩陣. 設(shè)二次型，求的取什么范圍，使得為二次型.解 二次型的矩陣為 .得得
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