淺談矩陣的秩及其應(yīng)用定稿-wenkub.com
2025-06-14 20:11 本頁(yè)面
【正文】 矩陣的秩在線性代數(shù)中的應(yīng)用非常廣泛，除了在解線性方程組中的應(yīng)用，矩陣的秩還可以用來判斷矩陣是否可逆,確定伴隨矩陣的秩，通過矩陣的秩計(jì)算矩陣的特征值……除此之外，矩陣在其它學(xué)科中，如經(jīng)濟(jì)學(xué)、控制論中也應(yīng)用廣泛。(三)矩陣的秩再其它方面的應(yīng)用 為為，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，例 已知為階矩陣且，求.解 由 可知 .當(dāng)時(shí),，矩陣存在，因此 .當(dāng)時(shí),矩陣因此 ,若，可知。若當(dāng)時(shí),。定理2[1] .其中為方程組的系數(shù)矩陣,且.例 解 方程組的系數(shù)矩陣為，計(jì)算系數(shù)矩陣的行列式,方程組的系數(shù)矩陣為則方程組化簡(jiǎn)為 （2）由于線性無關(guān)，表示方程組的通解。當(dāng)時(shí) 方程組無解。定理1[4] 陳志杰 編 高等代數(shù)與解析幾何(上冊(cè)) [M] 北京：高等教育出版社?？梢钥闯觯匠探M與方程組同解，則兩個(gè)方程組基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)相同。以為例 令表示的列向量,表示的列向量,計(jì)算可得,也就是說， 可以由 線性表出,所以.同樣,可得,因此得出.性質(zhì)2 .證明 令為 的列向量為 則的列向量為.因而可以得的列向量組,可以由,線性表出,即 .結(jié)論成立。而當(dāng)階數(shù)3時(shí),初等變換法明顯優(yōu)于求矩陣的級(jí)子式,并且隨著階數(shù)的增加兩種方法的難度差距也隨之增大。由定理2可得出推論,的充要條件是矩陣秩的兩種計(jì)算方法及其優(yōu)劣比較 矩陣的秩的兩種計(jì)算方法方法一 求矩陣的非零子式的最高級(jí)數(shù)由定義知，矩陣的秩為矩陣中存在的非零子式的最高級(jí)數(shù)。假設(shè)結(jié)論對(duì)成立。由此可以看出上例中的行秩和列秩相等絕非偶然情況，而是對(duì)任意的矩陣都有行秩等于列秩。 例 對(duì)于矩陣矩陣的行向量為,計(jì)算可得，向量組的秩為3,那么可知，矩陣的行秩為3.矩陣的列向量為,計(jì)算可得，向量組的秩為3,那么可知，矩陣的列秩為3.矩陣的行向量,則矩陣矩陣列向量為,經(jīng)計(jì)算向量組,
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