【正文】 同意其通過(guò)本科畢業(yè)論文答辯。 錢方生問(wèn) ：有沒(méi)有論文 中沒(méi)提到的初等變換其它方面的應(yīng)用？ 答：其實(shí)初等變換的應(yīng)用還很多，比如在初等數(shù)論中我們也可以用初等變換來(lái)求最大公因數(shù)及其倍數(shù)和、不定方程、一次同余式組等等 。 指導(dǎo)教師簽字 論文等級(jí) 本科畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 答辯過(guò)程記錄 院系 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)系 專業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年級(jí) 2020 級(jí) 答辯人姓名 焦 陽(yáng) 學(xué)號(hào) 2020310849 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題目 矩陣初等變換及其應(yīng)用 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）答辯過(guò)程記錄： 為什么選這個(gè)課題？ 答：在學(xué)習(xí)高等代數(shù)的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)矩陣初等變換的應(yīng)用特別廣泛。 基礎(chǔ)扎實(shí) ,對(duì)基本知識(shí) ,基本理論和基本技能的掌握比較完整和全面 。 評(píng)閱人 簽字 評(píng)閱意見(jiàn) 論文評(píng)閱人意見(jiàn) 論文 （設(shè)計(jì)） 題目 矩陣初等變換及其應(yīng)用 作 者 荊山玉 評(píng)閱人 李萍 評(píng)閱人職稱 講師 意 見(jiàn) 該論文對(duì)矩陣初等變換的定義和它在高等代數(shù)中的應(yīng)用做了充分的說(shuō)明和分類，并結(jié)合了相關(guān)內(nèi)容，用具體實(shí)例演示了用法。 elementary transformation。 [10]劉劍平 施勁松 錢夕元：線性代數(shù)及其應(yīng)用，華東理工大學(xué)出版社 ， 2020 年 。 [6]盧剛：線性代數(shù)中的典型例題分析與習(xí)題，高等教育出版社 ， 2020 年 。 [2]西北工業(yè)大學(xué)高等代數(shù)編寫(xiě)組：高等代數(shù)，科學(xué)出版社 ， 2020 年 。 這里介紹的用初等變換就能快速化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法與書(shū)中的初等變換結(jié)合緊密 ,學(xué)生容易理解和掌握。 f 經(jīng)非退化線性變換 x=Py 可化為標(biāo)準(zhǔn)型 f = 12 2 22324y y y?? 。 例 1 用初等變換法將二次型 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 2 2 6f x x x x x x x x x? ? ?化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出所用的可逆線性變換。 化二次型為標(biāo)準(zhǔn) 形 定義 1：含有 n 個(gè)變量 12, , , nx x x 的二次齊次函數(shù) 12( , , , )nf x x x =11nnij i jija xx????（ ij jiaa? ） 稱為二次型。 解：設(shè) A為由基 1 2 3 4, , ,? ? ? ? 到 1 2 3 4, , ,? ? ? ? 的過(guò)渡矩陣，則（ 1 2 3 4, , ,? ? ? ? ） = （ 1 2 3 4, , ,? ? ? ? ） A。因此，由基 ? ?12, n? ? ? 到 基 { 12,n? ? ? }的過(guò)渡矩陣是 A1B。以這 n 個(gè)坐標(biāo)為列，作一個(gè) n 階 矩陣 T=11 12 121 22 212nnn n nna a aa a aa a a????????， 矩陣 T 叫做由基 ? ?12, n? ? ? 到 基 { 12,n? ? ? }的過(guò)渡矩 陣。 求 向量 空間的一組基到另一組基的過(guò) 渡矩陣，最直接的方法便是按過(guò)渡矩陣的定義先列出一組等式，進(jìn)而需求解 n個(gè)非齊次線性方程組，然后寫(xiě)出過(guò)渡矩陣，其間運(yùn)算量很大，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，下面將介紹用行初等變換的方法求的一組基到另一組的過(guò)渡矩陣。 向量組的極大無(wú)關(guān)組不是唯一的，但向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組之間等價(jià)。 例 3 求向量組 1 (1, 1, 0, 0)T? ?? ， 2 ( 1, 2,1, 1)T? ? ? ? ， 3 (0,1,1, 1)T? ??，4 ( 1,3, 2,1)T? ?? ， 5 ( 2, 6, 4, 1)T? ? ? ?的 極 大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用 極 大線性無(wú)關(guān)組表示。 例 2 k 取何值時(shí)，向量組 1 (1,3,6, 2)T? ? ， 2 (2,1, 2, 1)T? ??， 3 (1, 1, , 2) Tk? ? ? ?線性無(wú)關(guān)。若向量組所構(gòu)成的矩陣的秩等于向量組向量的個(gè)數(shù)，那么，向量組線性相關(guān)。如果它的一個(gè)部分組 1 2 r? ? ?， ， 滿足： （ 1） 1 2 r? ? ?， ， 線性無(wú)關(guān)； （ 2）任取 ? ?T，則 ? ， 1 2 r? ? ?， ， 線性相關(guān)。 證向量的線性相關(guān)性 、 求向量組的極大無(wú)關(guān)組 求向量組的極大線性無(wú)關(guān)組 ,最方便 ,最常用的方法可能要數(shù)初等變換法了 ，這也 是我 們 最容易掌握的。再通過(guò)回代得到原方程組的一般解 。 解：設(shè) B 是線性方程組的增廣矩陣，于是 B=1 2 3 4 40 1 1 1 31 3 0 3 10 7 3 1 3????????????31rr?1 2 3 4 40 1 1 1 30 5 3 1 30 7 3 1 3??????????????324257rrrr?? 1 2 3 4 40 1 1 1 30 0 2 4 120 0 4 8 24?????????????433212rrr??1 2 3 4 40 1 1 1 30 0 1 2 60 0 0 0 0??????????? 于是，得到 同解 的方程組為 1 2 3 42 3 4342 3 4 4326x x x xx x xxx? ? ? ???? ? ? ?????? 將這方程組改寫(xiě)為 1 2 3 42 3 4342 3 4 4362x x x xx x xxx? ? ? ???? ? ? ?????? 通過(guò)回代 ，將 4x 作為自由未知量，得到原方程組的一般解： 124348362xxx???????????。這種方法有三個(gè)基本操作：方程組中兩個(gè)方程互換 ， 一個(gè)方程兩邊乘一非零常數(shù) ， 一個(gè)方程加另一個(gè)方程的若干倍。 當(dāng) ? =2 時(shí)， r（ A）=2r（ B） =3，方程組無(wú)解。 解：齊次線性方程組有非平凡解，必有系數(shù)矩陣 A的秩 r（ A） A= 1 2 23 7 648????????? 213134rrrr??1 2 20 1 00 0 8????????? 為了使 r（ A） 3，必須 ? +8=0，即 ? =8 時(shí)齊次線性方程組有非平凡解。 定理 2： n 元非齊次 線性方程組 Ax=b 有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣 A的秩等于增廣解陣的秩。 判斷線性方程組解 的狀況 齊次線性方程組有個(gè)明顯的零解 x=0，稱其為平凡解。 例 3 已知矩陣 A= 2 4 11 5 21 1 1?????????可逆，用列初等變換法求 1A? 。 一種求逆的方法：將分塊矩陣 ? ?AE 進(jìn)行行初等變換，當(dāng)前面一塊變成單位矩陣時(shí)，后 面一塊就是 1A? 。 定理 1： 矩陣 A為可逆矩陣的充分必要條件是 A可以表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積。 判斷矩陣是否可逆及 求逆矩陣 可逆矩陣在線性代數(shù)中具有很重要的地位，但若是用伴隨矩陣的方式來(lái)求一個(gè)矩陣 的 逆矩陣工作量非常大。 所以由推論得： A的秩為 3。 定理 1：初等變換不改變矩陣的秩。行階梯形矩陣的秩等于它的非零行數(shù)，行階梯形矩陣的秩就是原矩陣的秩。 定理 1：對(duì) m? n 矩陣 A，作一次初等行（列）變換所得的矩陣 B，等于以一個(gè)相應(yīng)的m 階（ n 階）初等矩陣左（右）乘 A。 雖然這些計(jì)算格式有不少類似之處，但是 也指出由于這些計(jì)算格式有不同的 原理， 所以 它們 的應(yīng)用 也有一些明顯的 區(qū)別。本文列舉了 矩陣 初等變換的幾種應(yīng)用， 包括 求矩陣的秩、 判斷矩陣是否可逆及 求逆矩陣 、 判斷線性方程組解的狀況、 求解線性方程組的一般解及基礎(chǔ)解系、證向量的線性相關(guān)性及求向量的極大無(wú)關(guān)組、求向量空間兩個(gè)基的過(guò)渡矩陣、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。 課題研究所需主要設(shè)備、儀器及藥品：無(wú) 外出調(diào)研主要 單位，訪問(wèn)學(xué)者姓名：無(wú) 指導(dǎo)教師審查意見(jiàn)： 同意開(kāi)題。 進(jìn)度安排： 2020 年 11 月 25 日 定題 2020年 11月 2612月 1日 擬定大綱 2020年 12月 2日 12月 31日 資料查詢，寫(xiě)好開(kāi)題報(bào)告。 并把初等變換應(yīng)用的具體方法提煉出來(lái)，方便日后解題使用。很多復(fù)雜、繁瑣的問(wèn)題經(jīng)過(guò)初等變換都可以化為簡(jiǎn)單、易于解決的問(wèn)題。 學(xué)號(hào)： 2020310849 哈爾濱師范大學(xué) 學(xué)士學(xué)位論文 題 目 矩陣初等變換及其應(yīng)用 學(xué) 生 焦 陽(yáng) 指導(dǎo)教師 林立軍 副 教授 年 級(jí) 2020 級(jí) 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 系 別 數(shù)學(xué)系 學(xué) 院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 2020 年 4 月 25 日 哈 爾 濱 師 范 大 學(xué) 學(xué)士學(xué)位論文開(kāi)題報(bào)告 論文題目 矩陣初等變換及其應(yīng)用 學(xué)生姓名 焦 陽(yáng) 指導(dǎo)教師 林立軍 副 教授 年 級(jí) 2020 級(jí)