【文章內(nèi)容簡介】 =2r（ B） =3，方程組無解。 在判定含有參量的線性方程組有沒有解及有多少解的問題時，需要注意的是：由于所含的參數(shù)是不確定的數(shù)值，所以在對增廣矩陣施行行初等變換的時候，應當考慮作變換時所用的“數(shù)”（如果它是含參量的一個代數(shù)式）是否可能為零（對某參量的取值），是否有意義，即（無論參量的取值如何）分母是否為零等，以決定所作的變換是否可施行。 解線性方程組 的一般解 及基礎(chǔ)解系 線性代數(shù)的起源之一 ， 是解線性方程組的問題。 解一個線性方程 組最基本的方法是所謂“ 加減 消元法” 。這種方法有三個基本操作：方程組中兩個方程互換 ， 一個方程兩邊乘一非零常數(shù) ， 一個方程加另一個方程的若干倍。 用初等行變換解線性方程組的步驟是： （ 1） 將增廣矩陣 B=（ Ab）化為行階梯矩陣，若 R（ B） ? R（ A），則方程組無解；若 R（ B） = R（ A），則進行下一步。 （ 2） 將增廣矩陣進一步化為行最簡形矩陣； （ 3） 寫出同解方程組（用自由未知量表示其余未知量）； （ 4） 寫出方程組的通解（參數(shù)形式或向量形式）。 例 1 求線性方程組1 2 3 42 3 41 2 42 3 42 3 4 433 3 17 3 3x x x xx x xx x xx x x? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ??的解。 解：設(shè) B 是線性方程組的增廣矩陣，于是 B=1 2 3 4 40 1 1 1 31 3 0 3 10 7 3 1 3????????????31rr?1 2 3 4 40 1 1 1 30 5 3 1 30 7 3 1 3??????????????324257rrrr?? 1 2 3 4 40 1 1 1 30 0 2 4 120 0 4 8 24?????????????433212rrr??1 2 3 4 40 1 1 1 30 0 1 2 60 0 0 0 0??????????? 于是，得到 同解 的方程組為 1 2 3 42 3 4342 3 4 4326x x x xx x xxx? ? ? ???? ? ? ?????? 將這方程組改寫為 1 2 3 42 3 4342 3 4 4362x x x xx x xxx? ? ? ???? ? ? ?????? 通過回代 ，將 4x 作為自由未知量，得到原方程組的一般解： 124348362xxx???????????。 例 2 求四元齊次線性方程組 1 2 31 2 3 42 3 020x x xx x x x? ? ??? ? ? ? ??的一般解和一個基礎(chǔ)解系。 解 ： A= 2 3 1 01 2 1 1????????12rr? 1 1 2 11 2 1 1????????21rr? 1 1 2 10 1 3 2????????12rr? 1 0 5 30 1 3 2????????， 得到一般解： 1 3 42 3 45332x x xx x x???? ? ? ?? 由此可得到方程組的一個基礎(chǔ)解系為 ? ? ? ?125 , 3 , 1 , 0 , 3 , 2 , 0 , 1TT??? ? ? ?。 利用矩陣初等變換解線性方程組就是將方程組的增廣矩陣進行初等變換，從而得到與原 方程組同解的梯形 線性方程組。再通過回代得到原方程組的一般解 。 在解線性方程組的時候只允許使用交換系數(shù)矩陣中的兩列，而不得使用其余的兩種初等 列變換，此時相當于交換兩個未知量的次序。但是，在實際解方程組時，我們不必要這么做， 更不要把最后一列與前面某一列交換。此外，由于其余兩種初等列變換不是“同解變換”， 因此在解方程組時，不允許使用。 證向量的線性相關(guān)性 、 求向量組的極大無關(guān)組 求向量組的極大線性無關(guān)組 ,最方便 ,最常用的方法可能要數(shù)初等變換法了 ，這也 是我 們 最容易掌握的。 定義 1： 設(shè) 1 2 r? ? ?， ， 是向量空間 V的 r 個向量。如果存在 F 中不全為零的數(shù) a1， a2， ar 使得 1 1 2 2 r ra a a 0? ? ?? ? ? ?，那么就說 1 2 r? ? ?， ， 線性相關(guān)。 定義 2：設(shè)向量組 T。如果它的一個部分組 1 2 r? ? ?， ， 滿足： （ 1） 1 2 r? ? ?， ， 線性無關(guān)； （ 2）任取 ? ?T，則 ? ， 1 2 r? ? ?， ， 線性相關(guān)。則稱部分組 1 2 r? ? ?， ， 為向量組T 的一個最大無關(guān)組。 定理 1：設(shè) r? n，則 n 維向量組 1 2 r? ? ?， ， 線性無關(guān)的充分必要條件是它構(gòu)成的矩陣 A=? ?1 2 r? ? ?， ， 的秩等于向量的個數(shù) r。 證向量組的線性相關(guān)性的步驟是： 一、求向量組所構(gòu)成的矩陣的秩； 二、比較向量組所構(gòu)成的矩陣的秩與向量組向量的個數(shù)。若向量組所構(gòu)成的矩陣的秩等于向量組向量的個數(shù)，那么，向量組線性相關(guān)。若向量組所構(gòu)成的矩陣的秩小于向量組向量的個數(shù)，那么，向量組線性無關(guān)。 例 1 已知 1b 1 31??T（ ， ， ） ， 2b 1 2 2??T（ ， ， ） ， 3b1? T（ ， 1， 3），試討論向量組 b1,b2,b3 和向量組 b1， b2 的線 性相關(guān)性。 解： （ b1,b2,b3） = 1 1 13 2 11 2 3?????????? 32r r? 1 1 10 1 20 1 2????????? 23325rrrr?? 1 1 10 1 20 0 0???????? r（ b1,b2,b3） =2,向量組 b1,b2,b3 線性相關(guān)； r（ b1,b2） =2，向量組 b1,b2 線性無關(guān)。 例 2 k 取何值時，向量組 1 (1,3,6, 2)T? ? ， 2 (2,1, 2, 1)T? ??， 3 (1, 1, , 2) Tk? ? ? ?線性無關(guān)。 解：構(gòu)造矩陣（ 1 2 3,? ? ? ），由于 ? ?1 2 3,? ? ? =1 2 13 1 1622 1 2k???????????213141362rrrrrr???1 2 10 5 40 10 60 5 4k??????????????32422rrrr??1 2 10 5 40 0 20 0 0k??????????? 當 k? 2 時，矩陣的秩等于 3，等于向量的個數(shù)， 1 2 3,? ? ? 線性無關(guān)。 定義：向量組 ? ?12, n? ? ? 的一個部分向量組 ? ?12, ri i i? ? ?叫做一個極大線 性無關(guān) 部 組（簡稱極大無關(guān)組），如果 （ 1）12, ri i i? ? ?線性無關(guān)； （ 2）每一 j? ， j=1，? n，都可以由12, ri i i? ? ?線性表示。 利用矩陣的初等變換將向量組堪稱某個矩陣 A的列（行）向量組，然后用初等行（列）變換將 A 化為階梯形矩陣 B，則向量組的秩等于階梯形矩陣 B 的非零行（列）的行（列）數(shù)，在 B 中找出一個階數(shù)最高的非零子式 rD ，那么與 rD 中這 r 列（行）相對應的 r 個向量12, ri i i? ? ?就是原向量組的一個極大無關(guān)組。 例 3 求向量組 1 (1, 1, 0, 0)T? ?? ， 2 ( 1, 2,1, 1)T? ? ? ? ， 3 (0,1,1, 1)T? ??，4 ( 1,3, 2,1)T? ?? ， 5 ( 2, 6, 4, 1)T? ? ? ?的 極 大線性無關(guān)組，并將其余向量用 極 大線性無關(guān)組表示。 解：設(shè) A= 1 2 3 4 5( , , , , )? ? ? ? ?=1 1 0 1 21 2 1 3 60 1 1 2 40 1 1 1 1? ? ??????? ? ???。對 A 作初等變換，將其化為行階梯矩陣，即 A=1 1 0 1 21 2 1 3 60 1 1 2 40 1 1 1 1? ? ??????? ? ???21rr?1 1 0 1 20 1 1 2 40 1 1 2 40 1 1 1 1? ? ?????? ? ???324234rrrrrr??? 1 1 0 1 20 1 1 2 40 0 0 3 30 0 0 0 0? ? ?????????313r?1 1 0 1 20 1 1 2 40 0 0 1 10 0 0 0 0? ? ?????????2313122rrrrrr???1 0 1 0 10 1 1 0 20 0 0 1 10 0 0 0 0???????? 故 r（ A） =3。該行階梯矩陣每個非零行第一個非零元所在的列為第 1， 2， 4 列，所 以， 向量組的一個 極 大線性無關(guān)組為 1 2 4,? ? ? ，且 3 1 2? ? ???， 5 1 2 42? ? ? ?? ? ?。 向量組的極大無關(guān)組不是唯一的，但向量組的任意兩個極大無關(guān)組之間等價。一個向量 組的所有極大無關(guān)組所含的向量的個數(shù)都是