【文章內(nèi)容簡介】 =2r（ B） =3，方程組無解。 在判定含有參量的線性方程組有沒有解及有多少解的問題時(shí)，需要注意的是：由于所含的參數(shù)是不確定的數(shù)值，所以在對增廣矩陣施行行初等變換的時(shí)候，應(yīng)當(dāng)考慮作變換時(shí)所用的“數(shù)”（如果它是含參量的一個(gè)代數(shù)式）是否可能為零（對某參量的取值），是否有意義，即（無論參量的取值如何）分母是否為零等，以決定所作的變換是否可施行。 解線性方程組 的一般解 及基礎(chǔ)解系 線性代數(shù)的起源之一 ， 是解線性方程組的問題。 解一個(gè)線性方程 組最基本的方法是所謂“ 加減 消元法” 。這種方法有三個(gè)基本操作：方程組中兩個(gè)方程互換 ， 一個(gè)方程兩邊乘一非零常數(shù) ， 一個(gè)方程加另一個(gè)方程的若干倍。 用初等行變換解線性方程組的步驟是： （ 1） 將增廣矩陣 B=（ Ab）化為行階梯矩陣，若 R（ B） ? R（ A），則方程組無解；若 R（ B） = R（ A），則進(jìn)行下一步。 （ 2） 將增廣矩陣進(jìn)一步化為行最簡形矩陣； （ 3） 寫出同解方程組（用自由未知量表示其余未知量）； （ 4） 寫出方程組的通解（參數(shù)形式或向量形式）。 例 1 求線性方程組1 2 3 42 3 41 2 42 3 42 3 4 433 3 17 3 3x x x xx x xx x xx x x? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ??的解。 解：設(shè) B 是線性方程組的增廣矩陣，于是 B=1 2 3 4 40 1 1 1 31 3 0 3 10 7 3 1 3????????????31rr?1 2 3 4 40 1 1 1 30 5 3 1 30 7 3 1 3??????????????324257rrrr?? 1 2 3 4 40 1 1 1 30 0 2 4 120 0 4 8 24?????????????433212rrr??1 2 3 4 40 1 1 1 30 0 1 2 60 0 0 0 0??????????? 于是，得到 同解 的方程組為 1 2 3 42 3 4342 3 4 4326x x x xx x xxx? ? ? ???? ? ? ?????? 將這方程組改寫為 1 2 3 42 3 4342 3 4 4362x x x xx x xxx? ? ? ???? ? ? ?????? 通過回代 ，將 4x 作為自由未知量，得到原方程組的一般解： 124348362xxx???????????。 例 2 求四元齊次線性方程組 1 2 31 2 3 42 3 020x x xx x x x? ? ??? ? ? ? ??的一般解和一個(gè)基礎(chǔ)解系。 解 ： A= 2 3 1 01 2 1 1????????12rr? 1 1 2 11 2 1 1????????21rr? 1 1 2 10 1 3 2????????12rr? 1 0 5 30 1 3 2????????， 得到一般解： 1 3 42 3 45332x x xx x x???? ? ? ?? 由此可得到方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為 ? ? ? ?125 , 3 , 1 , 0 , 3 , 2 , 0 , 1TT??? ? ? ?。 利用矩陣初等變換解線性方程組就是將方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等變換，從而得到與原 方程組同解的梯形 線性方程組。再通過回代得到原方程組的一般解 。 在解線性方程組的時(shí)候只允許使用交換系數(shù)矩陣中的兩列，而不得使用其余的兩種初等 列變換，此時(shí)相當(dāng)于交換兩個(gè)未知量的次序。但是，在實(shí)際解方程組時(shí)，我們不必要這么做， 更不要把最后一列與前面某一列交換。此外，由于其余兩種初等列變換不是“同解變換”， 因此在解方程組時(shí)，不允許使用。 證向量的線性相關(guān)性 、 求向量組的極大無關(guān)組 求向量組的極大線性無關(guān)組 ,最方便 ,最常用的方法可能要數(shù)初等變換法了 ，這也 是我 們 最容易掌握的。 定義 1： 設(shè) 1 2 r? ? ?， ， 是向量空間 V的 r 個(gè)向量。如果存在 F 中不全為零的數(shù) a1， a2， ar 使得 1 1 2 2 r ra a a 0? ? ?? ? ? ?，那么就說 1 2 r? ? ?， ， 線性相關(guān)。 定義 2：設(shè)向量組 T。如果它的一個(gè)部分組 1 2 r? ? ?， ， 滿足： （ 1） 1 2 r? ? ?， ， 線性無關(guān)； （ 2）任取 ? ?T，則 ? ， 1 2 r? ? ?， ， 線性相關(guān)。則稱部分組 1 2 r? ? ?， ， 為向量組T 的一個(gè)最大無關(guān)組。 定理 1：設(shè) r? n，則 n 維向量組 1 2 r? ? ?， ， 線性無關(guān)的充分必要條件是它構(gòu)成的矩陣 A=? ?1 2 r? ? ?， ， 的秩等于向量的個(gè)數(shù) r。 證向量組的線性相關(guān)性的步驟是： 一、求向量組所構(gòu)成的矩陣的秩； 二、比較向量組所構(gòu)成的矩陣的秩與向量組向量的個(gè)數(shù)。若向量組所構(gòu)成的矩陣的秩等于向量組向量的個(gè)數(shù)，那么，向量組線性相關(guān)。若向量組所構(gòu)成的矩陣的秩小于向量組向量的個(gè)數(shù)，那么，向量組線性無關(guān)。 例 1 已知 1b 1 31??T（ ， ， ） ， 2b 1 2 2??T（ ， ， ） ， 3b1? T（ ， 1， 3），試討論向量組 b1,b2,b3 和向量組 b1， b2 的線 性相關(guān)性。 解： （ b1,b2,b3） = 1 1 13 2 11 2 3?????????? 32r r? 1 1 10 1 20 1 2????????? 23325rrrr?? 1 1 10 1 20 0 0???????? r（ b1,b2,b3） =2,向量組 b1,b2,b3 線性相關(guān)； r（ b1,b2） =2，向量組 b1,b2 線性無關(guān)。 例 2 k 取何值時(shí)，向量組 1 (1,3,6, 2)T? ? ， 2 (2,1, 2, 1)T? ??， 3 (1, 1, , 2) Tk? ? ? ?線性無關(guān)。 解：構(gòu)造矩陣（ 1 2 3,? ? ? ），由于 ? ?1 2 3,? ? ? =1 2 13 1 1622 1 2k???????????213141362rrrrrr???1 2 10 5 40 10 60 5 4k??????????????32422rrrr??1 2 10 5 40 0 20 0 0k??????????? 當(dāng) k? 2 時(shí)，矩陣的秩等于 3，等于向量的個(gè)數(shù)， 1 2 3,? ? ? 線性無關(guān)。 定義：向量組 ? ?12, n? ? ? 的一個(gè)部分向量組 ? ?12, ri i i? ? ?叫做一個(gè)極大線 性無關(guān) 部 組（簡稱極大無關(guān)組），如果 （ 1）12, ri i i? ? ?線性無關(guān)； （ 2）每一 j? ， j=1，? n，都可以由12, ri i i? ? ?線性表示。 利用矩陣的初等變換將向量組堪稱某個(gè)矩陣 A的列（行）向量組，然后用初等行（列）變換將 A 化為階梯形矩陣 B，則向量組的秩等于階梯形矩陣 B 的非零行（列）的行（列）數(shù)，在 B 中找出一個(gè)階數(shù)最高的非零子式 rD ，那么與 rD 中這 r 列（行）相對應(yīng)的 r 個(gè)向量12, ri i i? ? ?就是原向量組的一個(gè)極大無關(guān)組。 例 3 求向量組 1 (1, 1, 0, 0)T? ?? ， 2 ( 1, 2,1, 1)T? ? ? ? ， 3 (0,1,1, 1)T? ??，4 ( 1,3, 2,1)T? ?? ， 5 ( 2, 6, 4, 1)T? ? ? ?的 極 大線性無關(guān)組，并將其余向量用 極 大線性無關(guān)組表示。 解：設(shè) A= 1 2 3 4 5( , , , , )? ? ? ? ?=1 1 0 1 21 2 1 3 60 1 1 2 40 1 1 1 1? ? ??????? ? ???。對 A 作初等變換，將其化為行階梯矩陣，即 A=1 1 0 1 21 2 1 3 60 1 1 2 40 1 1 1 1? ? ??????? ? ???21rr?1 1 0 1 20 1 1 2 40 1 1 2 40 1 1 1 1? ? ?????? ? ???324234rrrrrr??? 1 1 0 1 20 1 1 2 40 0 0 3 30 0 0 0 0? ? ?????????313r?1 1 0 1 20 1 1 2 40 0 0 1 10 0 0 0 0? ? ?????????2313122rrrrrr???1 0 1 0 10 1 1 0 20 0 0 1 10 0 0 0 0???????? 故 r（ A） =3。該行階梯矩陣每個(gè)非零行第一個(gè)非零元所在的列為第 1， 2， 4 列，所 以， 向量組的一個(gè) 極 大線性無關(guān)組為 1 2 4,? ? ? ，且 3 1 2? ? ???， 5 1 2 42? ? ? ?? ? ?。 向量組的極大無關(guān)組不是唯一的，但向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組之間等價(jià)。一個(gè)向量 組的所有極大無關(guān)組所含的向量的個(gè)數(shù)都是