淺談矩陣的秩及其應用定稿-文庫吧
2025-06-02 20:11 本頁面
【正文】 矩陣的行秩就是矩陣經(jīng)過初等變換化為階梯形矩陣后，新矩陣中非零的行向量的個數(shù)；矩陣的列秩就是矩陣經(jīng)過初等變換化為階梯形矩陣后，新矩陣中非零的列向量的個數(shù)。顯然，階矩陣的非零子式的最高階數(shù)比中的任何一個都小，可記為.若,當時稱為行滿秩,同樣，若，當時稱為列滿秩；如果,并且當達到最大值時，稱為滿秩方陣。 例 對于矩陣矩陣的行向量為,計算可得，向量組的秩為3,那么可知，矩陣的行秩為3.矩陣的列向量為,計算可得，向量組的秩為3,那么可知，矩陣的列秩為3.矩陣的行向量,則矩陣矩陣列向量為,經(jīng)計算向量組,的秩為3,則矩陣的列秩為3.矩陣中的相關(guān)定理及命題命題[1]一個矩陣的秩為級子式,而所有的級子式(若矩陣存在級子式)全都為0. 命題[2] 李尚志 編著 線性代數(shù)[M]北京：高等教育出版社。矩陣經(jīng)初等變換后，矩陣的秩不發(fā)生改變.定理[1] 矩陣的行秩和列秩是相等的. 證明[1] 設(shè)所討論的矩陣為而A的行秩為,先證.以代表矩陣的行向量組,不妨設(shè)是它的一個極大線形無關(guān)組。因為是線性無關(guān)的,所以只有零解,這也就是說,齊次線形方程組只有零解.則方程組的系數(shù)矩陣的行秩因此在它的行向量中可以找到個是線性無關(guān)的,比如向量組線性無關(guān)，在這些向量上再添加若干個分量后所得的新的向量組依然是線性無關(guān)的。并且它們正好是矩陣的個列向量,由于它們的線性無關(guān)性，由此可知矩陣的列秩至少是,也就是說.,進而說明矩陣行秩與列秩相等。由此可以看出上例中的行秩和列秩相等絕非偶然情況，而是對任意的矩陣都有行秩等于列秩。因此，我們將矩陣的行秩和列秩通稱為矩陣的秩,且三者相等。定理2[1] 階矩陣的行列式為零的充要條件為.證明[1] 充分性 因為矩陣的秩等于矩陣的行秩,且,所以矩陣的行秩小于,因此可知矩陣的行向量組是線形相關(guān)的,由行列式的性質(zhì)可得,矩陣的行列式為零。必要性 當時,矩陣為零,結(jié)論顯然成立。假設(shè)結(jié)論對成立。討論的情形,若第一列元素均為零,不妨設(shè)利用初等變換將其余各行的第一列元素消成零, 則其中,且為矩陣的行向量。因為矩陣的行列式為零,所以由歸納假設(shè)的行向量線性相關(guān)。因此，向量組線性相關(guān)，進而可得出也是線性相關(guān)的，即.由歸納假設(shè)可得結(jié)論
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