淺談矩陣的秩及其應(yīng)用定稿-資料下載頁(yè)
2025-06-17 20:11本頁(yè)面
【正文】 方程組有唯一解。當(dāng)時(shí) 方程組無(wú)解。對(duì)于非齊次線性方程組來(lái)說(shuō)，為其系數(shù)矩陣，為其增廣矩陣，當(dāng)時(shí)，若,則方程組有唯一解，若,則方程組有無(wú)窮多組解；當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解。矩陣的秩不僅可以用來(lái)判斷非齊次線性方程組有無(wú)解,而且還可以用來(lái)判斷線性方程組解的情況，進(jìn)而確定其通解的結(jié)構(gòu)。以下定理可根據(jù)矩陣的秩判斷解的情況。定理2[1] .其中為方程組的系數(shù)矩陣,且.例 解 方程組的系數(shù)矩陣為，計(jì)算系數(shù)矩陣的行列式,方程組的系數(shù)矩陣為則方程組化簡(jiǎn)為 （2）由于線性無(wú)關(guān)，表示方程組的通解。因此，方程組的通解為 其中當(dāng)時(shí)，,方程組只有零解。用來(lái)判斷給出一般方程的空間兩直線的位置關(guān)系。 ； ；解的情況，由于每個(gè)線性方程都代表一個(gè)平面,方程組表示兩平面的交線，即所給出的直線所以有.表示系數(shù)矩陣與增廣矩陣。若當(dāng)時(shí),。 當(dāng)時(shí),。若。在此種情況下兩直線異面或平行。(三)矩陣的秩再其它方面的應(yīng)用 為為，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，例 已知為階矩陣且，求.解 由 可知 .當(dāng)時(shí),，矩陣存在，因此 .當(dāng)時(shí),矩陣因此 ,若，可知。例[5] 錢(qián)吉林 編著 高等代數(shù)題解精粹北[M]京：中央民族大學(xué)出版社。 [6] 閆國(guó)松 矩陣的秩的兩種常用求法之比較[J]科技信息（學(xué)術(shù)版），2008（14）。 設(shè)為階方陣, ，且，求的一個(gè)特征值解 因?yàn)? ,所以 ,從而 ，故由 .得 所以 ，即 5為的一個(gè)特征值。矩陣的秩在線性代數(shù)中的應(yīng)用非常廣泛，除了在解線性方程組中的應(yīng)用，矩陣的秩還可以用來(lái)判斷矩陣是否可逆,確定伴隨矩陣的秩，通過(guò)矩陣的秩計(jì)算矩陣的特征值……除此之外，矩陣在其它學(xué)科中，如經(jīng)濟(jì)學(xué)、控制論中也應(yīng)用廣泛。 參考文獻(xiàn)1515
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