淺談矩陣的秩及其應(yīng)用定稿(參考版)
2025-06-20 20:11本頁面
【正文】 參考文獻(xiàn)1515。 設(shè)為階方陣, ，且，求的一個(gè)特征值解 因?yàn)? ,所以 ,從而 ，故由 .得 所以 ，即 5為的一個(gè)特征值。例[5] 錢吉林 編著 高等代數(shù)題解精粹北[M]京：中央民族大學(xué)出版社。在此種情況下兩直線異面或平行。 當(dāng)時(shí),。 ； ；解的情況，由于每個(gè)線性方程都代表一個(gè)平面,方程組表示兩平面的交線，即所給出的直線所以有.表示系數(shù)矩陣與增廣矩陣。因此，方程組的通解為 其中當(dāng)時(shí)，,方程組只有零解。以下定理可根據(jù)矩陣的秩判斷解的情況。對(duì)于非齊次線性方程組來說，為其系數(shù)矩陣，為其增廣矩陣，當(dāng)時(shí)，若,則方程組有唯一解，若,則方程組有無窮多組解；當(dāng)時(shí)，方程組無解。當(dāng),且時(shí) 方程組有唯一解。 證明 必要性 記系數(shù)矩陣為,列向量組為,增廣矩陣為,由此可以看出可以由線性表出,因此,與是等價(jià)的,因而有相同的秩,即充分性[4] 若,說明與有相同的秩,因若為列向量組 可以由線性表出,又因于是，向量組與其極大線性無關(guān)組是等價(jià)的。同樣的，若是階可逆矩陣使得.性質(zhì)9 階矩陣的秩為,則有的和 ,使得.證明[3]由于因此存在階可逆矩陣和階可逆矩陣，使得則有,其中，由關(guān)系8可知，矩陣秩的應(yīng)用矩陣與線性方程組有密切的關(guān)系,在判斷線性方程組的解得情況時(shí),矩陣的秩起著十分重要的作用。因?yàn)榉匠探M的基礎(chǔ)解系所含解的個(gè)數(shù)等于方程組未知量的個(gè)數(shù)減去系數(shù)矩陣的秩，所以結(jié)論成立，即性質(zhì)8 若是 使得.證明[3] 黃光谷 黃東 李楊 蔡曉英 編 高等代數(shù)輔導(dǎo)與習(xí)題解答[M]華中科技大學(xué)出版社， 。若方程組，有，在的兩邊同左乘得,。性質(zhì)3 .證法一因?yàn)? 所以 .證法二 設(shè),，因此 存在可逆矩陣使得,令,則因此可得 ,而,所以 ,而總行數(shù)為，可以得出.即.結(jié)論成立。矩陣秩的若干性質(zhì) (以下討論的關(guān)系中均為可進(jìn)行運(yùn)算的矩陣) 性質(zhì)1
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