淺談矩陣的秩及其應(yīng)用定稿(已改無(wú)錯(cuò)字)
2023-07-18 20:11:25 本頁(yè)面
【正文】 .證法二 設(shè),，因此 存在可逆矩陣使得,令,則因此可得 ,而,所以 ,而總行數(shù)為，可以得出.即.結(jié)論成立。性質(zhì)4 若,則.證法一 可得，由關(guān)系3可得.證法二 表示矩陣的列向量,則,因此有.設(shè), ,則可以由個(gè),即.性質(zhì)5 若 則.證明 由可得,進(jìn)而可得,由關(guān)系4得 .又因?yàn)?可得,且,由關(guān)系2得.所以.性質(zhì)6 若 則.證明 由可得,進(jìn)而可得由關(guān)系4得 .又因?yàn)?可得且,.由關(guān)系2得,所以 .性質(zhì)7 . 證明 若方程組的任意非零解，有，那么,則也是方程組的非零解。若方程組，有，在的兩邊同左乘得,?？梢钥闯?，方程組與方程組同解，則兩個(gè)方程組基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)相同。因?yàn)榉匠探M的基礎(chǔ)解系所含解的個(gè)數(shù)等于方程組未知量的個(gè)數(shù)減去系數(shù)矩陣的秩，所以結(jié)論成立，即性質(zhì)8 若是 使得.證明[3] 黃光谷 黃東 李楊 蔡曉英 編 高等代數(shù)輔導(dǎo)與習(xí)題解答[M]華中科技大學(xué)出版社， 。充分性 ，其中為,所以矩陣為列滿秩.必要性 矩陣 ,的前,于是存在階可逆矩陣使得,其中為令，則有再令,則有于是令,則結(jié)論成立。同樣的，若是階可逆矩陣使得.性質(zhì)9 階矩陣的秩為,則有的和 ,使得.證明[3]由于因此存在階可逆矩陣和階可逆矩陣，使得則有,其中，由關(guān)系8可知，矩陣秩的應(yīng)用矩陣與線性方程組有密切的關(guān)系,在判斷線性方程組的解得情況時(shí),矩陣的秩起著十分重要的作用。定理1[4] 陳志杰 編 高等代數(shù)與解析幾何(上冊(cè)) [M] 北京：高等教育出版社。 證明 必要性 記系數(shù)矩陣為,列向量組為,增廣矩陣為,由此可以看出可以由線性表出,因此,與是等價(jià)的,因而有相同的秩,即充分性[4] 若,說(shuō)明與有相同的秩,因若為列向量組 可以由線性表出,又因于是，向量組與其極大線性無(wú)關(guān)組是等價(jià)的。所以，可以由線性表出,即是向量組的一個(gè)線性組合,例 對(duì)于方程組討論解 系數(shù)矩陣 增廣矩陣若要方程組有解則需.由此可以看出當(dāng)時(shí) 。當(dāng),且時(shí)
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