畢業(yè)論文--方程思想探究及其解題妙用(編輯修改稿)
2025-02-14 06:51 本頁面
【文章內容簡介】 中,點是上的一個動點（不與重合）過點作//交于點(當運動到點時，與重合）把沿對折，點的對應點是點設，與梯形重疊部分的面積為(1) 求的長(2) 若點恰好在上，求此時的值(3) 求與支架的函數(shù)關系式，并求當為何值時，的值最大？最大值是多少？解：（1）過點作垂直于點，因為，所以,又易知是矩形，所以(2) 由（1)知，且所以,故與重疊，當點恰好在上時，可知,，有，解得(3) 如圖3所示，當時，陰影部分的面積等于的面積減去空白部分的面積空白部分的面積與面積成比例，所以當時，（1） “火眼金睛”看題目，方程思想最優(yōu)法 例5：(廣東深圳市調研考試題）如圖，已知動圓過定點且與軸相切，點關于圓心的對稱點為，動點的軌跡為.（1） 求曲線的方程；（2） 設是曲線上的一個定點，過點作任意兩條傾斜角互補的直線，分別與曲線相交于另外兩個點.①證明：直線斜率為定值；②記曲線位于兩點之間的那一段為，若點在上，且點到直線的距離最大，求點的坐標.解：（1）解法一：設，因為點在圓上，且點關于圓的對稱點，所以，且圓的直徑為，由題意，動圓與軸相切，所以，兩邊平方整理得，所以曲線的方程為解法二：因為動圓過定點且與軸相切，所以動圓在軸上方，連接,因為關于圓心的對稱點為，垂足為,過點作軸，即動點到定點的距離比到軸的距離大1，又動點位于軸的上方，以直線為準線的拋物線.所以曲線的方程為（2) ①證法一：由題意，直線的斜率存在且不為零，設直線AP的斜率為,：上的點，所以，直線的方程為 .由 解得 或， 所以點坐標為以替換，得的坐標為所以直線的斜率為為定值.①證法二：因為是曲線：上的點，所以，.又點在曲線：上，所以可設，而直線、的傾斜角互補，所以它們的斜率互為相反數(shù)，即整理得：，所以直線的斜率為為定值②解法一：由①可知，，所以直線方程為，整理得.設點在曲線段上，因為兩點的橫坐標分別為和所以點的橫坐標在和之間即所以，從而，點到直線的距離為當時，又所以點在曲線段上，所以點的坐標是解法二：由①可知，若點在曲線段上，且點到直線的距離最大，則曲線在點處的切線設：，由方程組消去，得令解得代入方程組，解得所以點的坐標是評析：從以上的解法我們發(fā)現(xiàn)，無論是第（1)問還是第（2）中的②，運用設元解方程組的方法更有利于解答，可縮小運算量，易理解.(2）方程思想在圓錐曲線上的應用 例6.【2012高考真題浙江理21】橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點到點P(2，1)的距離為．不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分．(Ⅰ)求橢圓C的方程；(Ⅱ) 求ABP的面積取最大時直線l的方程．【命題立意】本題主要考查橢圓的幾何性質，直線與橢圓的位置關系，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力。解：(Ⅰ)由題：； (1)左焦點(﹣c，0)到點P(2，1)的距離為：． (2)由(1) (2)可解得：．∴所求橢圓C的方程為：．(Ⅱ)易得直線OP的方程：y＝x，設，R(x0，y0)．其中y0＝x0．∵A，B在橢圓上，∴．設直線AB的方程為l：y＝﹣(m≠0)，代入橢圓：．顯然．∴﹣＜m＜且m≠0．由上又有：＝m，＝．∴|AB|＝||＝＝．∵點P(2，1)到直線l的距離表示為：．∴SABP＝d|AB|＝，當＝，即m＝﹣3 或m＝0(舍去)時，(SABP)max＝．此時直線l的方程＝﹣ （3）利用參數(shù)方程思想解題 例7：與軸正向交于點，若這個橢圓上總存在點，使(為坐標原點)，求其離心率的取值范圍．分析：∵、為定點，為動點，可以點坐標作為參數(shù)，把，轉化為點坐標的一個等量關系，再利用坐標的范圍建立關于、的一個不等式，轉化為關于的不等式．為減少參數(shù)，易考慮運用橢圓參數(shù)方程．解：設橢圓的參數(shù)方程是，則橢圓上的點，∵，∴，即，解得或，∵ ∴（舍去），又∴，∴，又，∴．說明：若已知橢圓離心率范圍，求證在橢圓上總存在點使．如何證明？當題目的條件和問題轉化時，依然可用參數(shù)方程思想來解答，把結果逆推即可. 對于大多數(shù)的高考生而言，高考的最后一道壓軸題是最令人頭痛最令人費解的，所以如何利用方程思想解函數(shù)方程，. 例8：已知函數(shù)，與軸的一個交點為（異于原點),與軸的交點為，在點處的切線為，在點處的切線為，//.(1) 求的值；(2) 已知實數(shù),求函數(shù)，的最小值；
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