畢業(yè)論文--方程思想探究及其解題妙用(編輯修改稿)
2025-02-14 06:51 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 中,點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與重合）過點(diǎn)作//交于點(diǎn)(當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，與重合）把沿對折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)設(shè)，與梯形重疊部分的面積為(1) 求的長(2) 若點(diǎn)恰好在上，求此時(shí)的值(3) 求與支架的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)為何值時(shí)，的值最大？最大值是多少？解：（1）過點(diǎn)作垂直于點(diǎn)，因?yàn)?，所?又易知是矩形，所以(2) 由（1)知，且所以,故與重疊，當(dāng)點(diǎn)恰好在上時(shí)，可知,，有，解得(3) 如圖3所示，當(dāng)時(shí)，陰影部分的面積等于的面積減去空白部分的面積空白部分的面積與面積成比例，所以當(dāng)時(shí)，（1） “火眼金睛”看題目，方程思想最優(yōu)法 例5：(廣東深圳市調(diào)研考試題）如圖，已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)且與軸相切，點(diǎn)關(guān)于圓心的對稱點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.（1） 求曲線的方程；（2） 設(shè)是曲線上的一個(gè)定點(diǎn)，過點(diǎn)作任意兩條傾斜角互補(bǔ)的直線，分別與曲線相交于另外兩個(gè)點(diǎn).①證明：直線斜率為定值；②記曲線位于兩點(diǎn)之間的那一段為，若點(diǎn)在上，且點(diǎn)到直線的距離最大，求點(diǎn)的坐標(biāo).解：（1）解法一：設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，且點(diǎn)關(guān)于圓的對稱點(diǎn)，所以，且圓的直徑為，由題意，動(dòng)圓與軸相切，所以，兩邊平方整理得，所以曲線的方程為解法二：因?yàn)閯?dòng)圓過定點(diǎn)且與軸相切，所以動(dòng)圓在軸上方，連接,因?yàn)殛P(guān)于圓心的對稱點(diǎn)為，垂足為,過點(diǎn)作軸，即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到軸的距離大1，又動(dòng)點(diǎn)位于軸的上方，以直線為準(zhǔn)線的拋物線.所以曲線的方程為（2) ①證法一：由題意，直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線AP的斜率為,：上的點(diǎn)，所以，直線的方程為 .由 解得 或， 所以點(diǎn)坐標(biāo)為以替換，得的坐標(biāo)為所以直線的斜率為為定值.①證法二：因?yàn)槭乔€：上的點(diǎn)，所以，.又點(diǎn)在曲線：上，所以可設(shè)，而直線、的傾斜角互補(bǔ)，所以它們的斜率互為相反數(shù)，即整理得：，所以直線的斜率為為定值②解法一：由①可知，，所以直線方程為，整理得.設(shè)點(diǎn)在曲線段上，因?yàn)閮牲c(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為和所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)在和之間即所以，從而，點(diǎn)到直線的距離為當(dāng)時(shí)，又所以點(diǎn)在曲線段上，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是解法二：由①可知，若點(diǎn)在曲線段上，且點(diǎn)到直線的距離最大，則曲線在點(diǎn)處的切線設(shè)：，由方程組消去，得令解得代入方程組，解得所以點(diǎn)的坐標(biāo)是評析：從以上的解法我們發(fā)現(xiàn)，無論是第（1)問還是第（2）中的②，運(yùn)用設(shè)元解方程組的方法更有利于解答，可縮小運(yùn)算量，易理解.(2）方程思想在圓錐曲線上的應(yīng)用 例6.【2012高考真題浙江理21】橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2，1)的距離為．不過原點(diǎn)O的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB被直線OP平分．(Ⅰ)求橢圓C的方程；(Ⅱ) 求ABP的面積取最大時(shí)直線l的方程．【命題立意】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力。解：(Ⅰ)由題：； (1)左焦點(diǎn)(﹣c，0)到點(diǎn)P(2，1)的距離為：． (2)由(1) (2)可解得：．∴所求橢圓C的方程為：．(Ⅱ)易得直線OP的方程：y＝x，設(shè)，R(x0，y0)．其中y0＝x0．∵A，B在橢圓上，∴．設(shè)直線AB的方程為l：y＝﹣(m≠0)，代入橢圓：．顯然．∴﹣＜m＜且m≠0．由上又有：＝m，＝．∴|AB|＝||＝＝．∵點(diǎn)P(2，1)到直線l的距離表示為：．∴SABP＝d|AB|＝，當(dāng)＝，即m＝﹣3 或m＝0(舍去)時(shí)，(SABP)max＝．此時(shí)直線l的方程＝﹣ （3）利用參數(shù)方程思想解題 例7：與軸正向交于點(diǎn)，若這個(gè)橢圓上總存在點(diǎn)，使(為坐標(biāo)原點(diǎn))，求其離心率的取值范圍．分析：∵、為定點(diǎn)，為動(dòng)點(diǎn)，可以點(diǎn)坐標(biāo)作為參數(shù)，把，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)坐標(biāo)的一個(gè)等量關(guān)系，再利用坐標(biāo)的范圍建立關(guān)于、的一個(gè)不等式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式．為減少參數(shù)，易考慮運(yùn)用橢圓參數(shù)方程．解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程是，則橢圓上的點(diǎn)，∵，∴，即，解得或，∵ ∴（舍去），又∴，∴，又，∴．說明：若已知橢圓離心率范圍，求證在橢圓上總存在點(diǎn)使．如何證明？當(dāng)題目的條件和問題轉(zhuǎn)化時(shí)，依然可用參數(shù)方程思想來解答，把結(jié)果逆推即可. 對于大多數(shù)的高考生而言，高考的最后一道壓軸題是最令人頭痛最令人費(fèi)解的，所以如何利用方程思想解函數(shù)方程，. 例8：已知函數(shù)，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為（異于原點(diǎn)),與軸的交點(diǎn)為，在點(diǎn)處的切線為，在點(diǎn)處的切線為，//.(1) 求的值；(2) 已知實(shí)數(shù),求函數(shù)，的最小值；
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