畢業(yè)論文--方程思想探究及其解題妙用(參考版)
2025-01-21 06:51本頁面
【正文】 entrance theme23。 problem solving。解：(Ⅰ)由題：； (1)左焦點(﹣c，0)到點P(2，1)的距離為：． (2)由(1) (2)可解得：．∴所求橢圓C的方程為：．(Ⅱ)易得直線OP的方程：y＝x，設，R(x0，y0)．其中y0＝x0．∵A，B在橢圓上，∴．設直線AB的方程為l：y＝﹣(m≠0)，代入橢圓：．顯然．∴﹣＜m＜且m≠0．由上又有：＝m，＝．∴|AB|＝||＝＝．∵點P(2，1)到直線l的距離表示為：．∴SABP＝d|AB|＝，當＝，即m＝﹣3 或m＝0(舍去)時，(SABP)max＝．此時直線l的方程＝﹣ （3）利用參數(shù)方程思想解題 例7：與軸正向交于點，若這個橢圓上總存在點，使(為坐標原點)，求其離心率的取值范圍．分析：∵、為定點，為動點，可以點坐標作為參數(shù)，把，轉化為點坐標的一個等量關系，再利用坐標的范圍建立關于、的一個不等式，轉化為關于的不等式．為減少參數(shù)，易考慮運用橢圓參數(shù)方程．解：設橢圓的參數(shù)方程是，則橢圓上的點，∵，∴，即，解得或，∵ ∴（舍去），又∴，∴，又，∴．說明：若已知橢圓離心率范圍，求證在橢圓上總存在點使．如何證明？當題目的條件和問題轉化時，依然可用參數(shù)方程思想來解答，把結果逆推即可. 對于大多數(shù)的高考生而言，高考的最后一道壓軸題是最令人頭痛最令人費解的，所以如何利用方程思想解函數(shù)方程，. 例8：已知函數(shù)，與軸的一個交點為（異于原點),與軸的交點為，在點處的切線為，在點處的切線為，//.(1) 求的值；(2) 已知實數(shù),求函數(shù)，的最小值；(3) 令，給定，對于兩個大于1的正數(shù)，存在實數(shù)滿足：，并且使得不等式 恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解:（1）圖象與軸異于原點的交點，的圖像與軸的交點由題意可得，即，所以（2）令，在時，所以在上單調(diào)遞增，圖象的對稱軸，拋物線開口向上①當即時， ②當即時， ③當即時，(3) ，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時，0①當，有，得，同理所以由的單調(diào)性知從而有，符合題設②當時，由的單調(diào)性知，所以，與題設不符③當時，同理可得得，與題設不符綜上所述可得：分析：此題知識點全面，首先要掌握基礎知識，對于函數(shù)中的方程，要分類討論充分利用不等式的性質(zhì)，對于復雜的在題目中反復用的未知數(shù)整體可用具體一個字母代替. 例9：已知，求的值.解析：首先觀察已知條件和所求式子，發(fā)現(xiàn)它們有一定的相似性，可設，那么，.那么函數(shù)就可以轉化為方程式，把所設代入三角函數(shù)式中得：，通過整理方程得：，故，其值都是等于1.看來，運用方程思想，解題難度明顯降低了！函數(shù)方程的定義 、(1)代換法（或換元法）把函數(shù)方程中的自變量適當?shù)匾詣e的自變量代換（代換時應注意使函數(shù)的定義域不會發(fā)生變化），得到一個新的函數(shù)方程，然后設法求得未知函數(shù)（2）待定系數(shù)法當函數(shù)方程中的未知數(shù)是多項式時，可用此法經(jīng)比較系數(shù)而得（3）迭代法由函數(shù)方程找出函數(shù)值之間的關系，通過n次迭代得到函數(shù)方程的解法（4）柯西法定理 若是單調(diào)（或連續(xù)）函數(shù)且滿足、則在f(x)單調(diào)（或連續(xù)）的條件下，利用柯西函數(shù)方程的解求解 例10：設上是連續(xù)的且恒不等于0，求函數(shù)方程 (1) 的解. 解：由數(shù)學歸納法易知 特別，取，則可得 (2) 在上式中取，可得， 在(1)式中，取，可得 因為我們假設不恒為0，所以 .在(2)式中，取，則可得(m為正整數(shù)) 在(1)式中，取，則可得 所以，對任意的有理數(shù)，. 又因有理數(shù)是實數(shù)的稠密子集，且上連續(xù)，所以 若，則 (3) 例11：設在正實數(shù)域上有定義，連續(xù)且不恒等于0，試求函數(shù)方程 (4) 的解. 解：由數(shù)學歸納法易知，對所有的正實數(shù)； 特別，取時，可知 (5) 所以，由(4)式可
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