【正文】 2( ) 3 3 0g t t? ? ? ? 得 t=1,t=1(不合題意，舍去 ) t (0,1) 1 (1,2) 淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想 16 39。2( ) 2 2 0f x tx t? ? ? x=t x ( , )t??? t ( , )t? ?? 39。③分離變量 ,利用函數(shù)的最值解恒成立問題 ,是一種重要的解題策略 . 解析幾何中的許多問題，可運(yùn)用函數(shù)與方程思想求解． 例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉 及到二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論． 例 m: 1y kx??和雙曲線 221xy??的左支交于 A、 B兩點(diǎn)，直線 L過 點(diǎn) P(2， 0)和線段 AB 的中點(diǎn) M，求 L在 y軸上的截距 b的取值范圍 . 剖析 :b 的變化是由于 k的變化而 引起的，即對(duì)于 k 的任一確定的值 .b 有確定 的值與之對(duì)應(yīng)，因此 b是 k的函數(shù)，本題即為求這個(gè)函數(shù)的值域 . 解：由 ? ?221 11y kx xxy??? ??? ???消去 y得 : ? ?221 2 2k x kx o? ? ? ? (*) 因?yàn)橹本€ m 與雙曲線的左支有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程 (*)有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根． 所以? ?2212 212 24 8 1 02 012 01kkkxxkxxk?? ? ? ? ????? ? ?????? ??? ?? 解得 12k?? 設(shè) M? ?00,xy 則 120 200 221111xx kxky kx k?? ???? ???? ? ?? ?? 由 P(2， 0)， M 221,11kkk????????,Q(0,b)三點(diǎn)共線，不難得出2 222b kk? ? ? ? 設(shè) ? ? 22 1 1 72 2 248f k k k k??? ? ? ? ? ? ? ?????，則 ??fk在 ? ?12， 上為減函數(shù)． 所以 ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 0f f k f f k? ? ?且， ? ? ? ? ? ?2 2 0 0 1f k f k? ? ? ? ? ?或 所以 22b ? ? ? 或 b2 評(píng)析 :根據(jù)函數(shù)的思想建立 b與 k的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)方程的思想，運(yùn)用二次方程的理論具體求出 b的表達(dá)式，是解此題的兩個(gè)關(guān)鍵問題 .不少解析幾何問題，其中某淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想 14 些元素處于運(yùn)動(dòng)變化之中，存在著相互聯(lián)系、相互制約的量，它們之間往往構(gòu)成函數(shù)關(guān)系 。()ft≥ 0? 23tk? ≥ 0? k≤ 3t 只要 k≤ ( 23t )min=3 即可 .故 k? ? ?,3?? 評(píng)析：①將向量間的幾何關(guān)系 ,通過坐標(biāo)運(yùn)算數(shù)量化 ,構(gòu)建函數(shù) ,回歸函數(shù)問題，解該題的思維取向 。2( ) 3f t t k??,因 f(t)在 [1,+∞ )上遞增 ,則當(dāng) t≥ 1 時(shí) , 39。以上三問通過運(yùn)用函數(shù)與方程的思想方法都得到了解決 ,充分說明了函數(shù)與方程的思想方法的實(shí)用性和重要性 . 函數(shù) f(x)＝ ? ?nax b? (n∈ N*)與二項(xiàng)式定理是密切相關(guān)的． 用這個(gè)函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項(xiàng)式定理的問題，運(yùn)用不定 方程的解題思想也可以解決二項(xiàng)式定理． 例 1．求 證 0 1 1 0.......k k k km n m n m n m nC C C C C C C? ?? ? ? ? 證明：令 ? ? ? ?1 mnf x x ??? 顯然 kmnC? 是 ? ?1 mnx ?? 展開式中 kx 的系數(shù) ? ? ? ? ? ?1+ x 1mnf x x??=? ? ? ?0 1 0 1. . . . . . . . . .m m n nm m m n n nC C x C x C C x C x? ? ? ? ? ? 其中 kx 的系數(shù)為 0 1 1 0.......k k km n m n m nC C C C C C?? ? ? 故 0 1 1 0.......k k k km n m n m n m nC C C C C C C? ?? ? ? ? 評(píng)析：一般的，利用二項(xiàng)式定理構(gòu)造函數(shù) ? ? ? ? ? ?nf x a x n? ? ?應(yīng)用廣泛，特 別是在證明組合數(shù)恒等式，組合數(shù)求和，證明不等式，證明整除等問題中用得較多． 例 2：求 ? ?100332x? 展開所得的關(guān)于 x 的多項(xiàng)式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)數(shù)． 解析：有理項(xiàng)的求法：解不定方程． ? ?100 31 1 0 0 32 rrrrT C x ?? ??? ??= ? ?100 10032100 32rr rrCx? ? 依題意有 100r ,23r z? 所以 r為 3和 2 的倍數(shù)，即為 6的倍數(shù)，又因 0≤ r≤ 100 所以 r=0,6?? 96構(gòu)成首項(xiàng)為 0，公差為 6，末項(xiàng)為 96 的等差數(shù)列． 由 96=0+（ n1） 6得 n= 17 項(xiàng)． 評(píng)析：此題若一項(xiàng)一項(xiàng)去找較麻煩，運(yùn)用不定方程思想及等差數(shù)列的性質(zhì)則很容易解決． 函數(shù)與方程思想在三角解題中有著十分廣泛的應(yīng)用 . 在三角學(xué)習(xí)中，我們要善于根據(jù)問題的特征，合理地展開聯(lián)想，巧妙地實(shí)施轉(zhuǎn)化，增強(qiáng)運(yùn)用函數(shù)與方程思想解題的意識(shí)，使解題的水平得到大幅度的提高 .“數(shù)學(xué)的精神和本質(zhì)在于它的思想和方法”，道理就在于此． 例 ? ? ? ?2c o s s i n 0f x x a x b a? ? ? ?的最大值為 0，最小值為 4，求 a,b 的值． 解：因?yàn)?? ? ? ?2c o s s i n 0f x x a x b a? ? ? ?= 2s in s in 1x a x b? ? ? ? = ? ?2s in s in 1x a x b? ? ? ? 淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想 12 = 2 2s in 124aaxb??? ? ? ? ????? ① 若 2a? ，則當(dāng) sin 1x?? 時(shí)， f(x)有最大值． 當(dāng) sin 1x? 時(shí)， f(x)有最小值 所以2 22 21 1 0241 1 424aa baa b? ??? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ?????? ? ? ? ? ? ???? ??? 解得 22ab??? ??? 不符合 2a? ，應(yīng)舍去． ② 若 02a??，則當(dāng) sin 2ax?? 時(shí)， f(x)有最大值 當(dāng) sin 1x? 時(shí)， f(x)有最小值 所以22 21041 1 424a baa b? ? ? ???? ???? ? ? ? ? ? ???? ??? 解得 22ab??? ???符合條件． 綜合可得： 22ab??? ??? 評(píng)析：將三角函數(shù)化為關(guān)于 sin , cos , tanx x x的簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)，是三角函數(shù)性質(zhì) 的又一基本性質(zhì)． 小結(jié)：三角函數(shù)是一類特殊的函數(shù) ,高考主要在三角函數(shù)的圖像、性質(zhì)以及結(jié) 合三角變換求三角函數(shù)值等方面進(jìn)行考查 .判斷函數(shù)單調(diào)性的問題 ,可以結(jié)合導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答 . 以向量為載體且融合函數(shù)的考題頻頻出現(xiàn) .在解答向量相關(guān)問題中 ,如能巧妙地運(yùn)用函數(shù)思想方法 ,常?？墒盏绞卤豆Π胫?效 . 例 1. 31( , )22a?? 13( , )22b? 若存在三個(gè)實(shí)數(shù) s、 t、 k,使 2()x a t k b? ? ? ，y sa tb?? ? 且 xy? (Ⅰ )求函數(shù) s=f(t)。試題的第二問也是 淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想 11 利用方程組通過消元來獲解 。淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想 1 淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想 摘 要 本文闡述了函數(shù)思想與方程思想的概念、二者之間的相互轉(zhuǎn)換及在轉(zhuǎn)換時(shí)需要注意的一些問題 .用典型的例題闡明用函數(shù)與方程思想方法能夠輕易解決數(shù)學(xué)學(xué)科中不等式、數(shù)列、二項(xiàng)式定理、三角函數(shù)、平面向量、解析幾何、立體幾何、概率與統(tǒng)計(jì)、導(dǎo)數(shù)、實(shí)際問題等難以突破的部分，并且它也應(yīng)用在其他學(xué)科領(lǐng)域中 .并結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，提出教師應(yīng)該在教學(xué)中有意培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)與方程思想，并且給出了具體可行性的建議 . 關(guān)鍵詞 函數(shù)思想 方程思想 應(yīng)用 培養(yǎng) 淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想 2 Discuss the function and equations for middle