【正文】 義和性質，反函數的概念，平面解幾里曲線的方程，方程的曲線的概念等等．方程的思想和函數的思想是處理常量數學與變量數學的重要思想，在解決一般數學問題中具有重大的方法論意義．在中學數學里，對各類代數方程和初等超越方程都作了較為系統(tǒng)的研究．對一個較為復雜的問題，常常先通過分析等量關系，列出一個或幾個方程或函數關系式，再解方程（組）或研究這函數的性質，就能很好地解決問題．函數知識涉及到的知識點 多，面廣，在概念性、應用性、理解性上能達到一定的要求，有利于檢測學生的深刻性、獨創(chuàng)性思維． 在運用函數與方程思想解題時應注意的問題 . （ 1）要重視基礎知識和基本技能的培養(yǎng)和訓練 ,深刻理解集合、函數、反函數 淺談中學數學中的函數與方程思想 6 的有關概念 . （ 2）要能熟練討論函數性質 (如單調性、奇偶性、周期性、極值等 ),掌握函數 圖像特征的分析 (如范圍、截距、凹凸性、漸近線、變化趨勢等 ),函數圖像的變換 (平移變換對稱變換、伸縮變換等 ),特別是要掌握與研究函數性質有關的數學知識 (如向量的平移、函數的導數等 ). （ 3）要能將函數、方程、不等式 有機結合起來 ,互相轉化 .能用集合的語言加以 表述 ,用參數的工具來體現運動變化 ,用高等數學的觀點來指導問題的解決 . （ 4）要能充分運用數學建模的思想 ,從數學的角度發(fā)現問題、提出問題、進行探 索與研究 ,培養(yǎng)實踐能力和創(chuàng)新意識 . （ 5）函數與方程思想和化歸、數形結合、分類討論、歸納、特殊化等數學思想 同樣有著密不可分的關系． 2 函數與方程思想的應用 函數和方程是密切相關的，可相互轉換 ． 方程 f(x)＝ 0的解就是函數 y＝ f(x)的圖像與 x軸交點的橫坐標，函數 y＝ f(x) 也可以看作二元方程 y－ f(x)＝ 0．它們之間的這種關系為我們解決方程與函數問題提供了思路．一方面，對于有些方程問題，可以用變量的觀點，將其轉化為函數問題，利用函數性質來解決；另一方面，也可將函數問題轉化為方程問題 ，利用方程性質或通過解方程來解決． 例 1. 若關于 x 的方程中 4 2 1 0xxaa? ? ? ?有實數解，求實數 a的取值范圍 . 分析 :處理此問題可以有兩種方法 :一是從“原方程有解”出發(fā)，進行等價轉換， 從而求出 a 的取值范圍 。試題的第三問通過變換 ,可視為自變量 m 的一次函數 ,再利用函數的單調性將問題迎刃而解 。()ft≥ 0 恒 淺談中學數學中的函數與方程思想 13 成立 .由 39。對于直線和曲線交點問題，經常要轉化為方程問題，用方程的理論加以解決 . 立體幾何中有關線段、角、面積、體積的計算，經常需要運用列方程（組） 或建立函數表達式的方法加以解決． 例 ，等腰 △ ABC 的底邊 AB=6 6 ，高 CD=3，點 E是線段 BD 上異于 點 B、 D 的動點，點 F 在 BC 邊上，且 EF⊥ AB，現沿 EF將△ BEF 折起到△ PEF 的位置，使 PE⊥ AE．記 BE＝ x， V(x)表示四棱錐 P－ ACFE 的體積． （Ⅰ）求 V(x)的表達式 . （Ⅱ）當 x 為何值時， V(x)取得最大值 . 分析：依題求出底面 ACFE 的面積表達式與高，由體積公式構建出體積表達式，借助于求導來解決問題． 解：（Ⅰ）∵ EF⊥ AB,∴ EF⊥ PE, 且 PE⊥ AE,EF∩ AE=E, 又 PE 在平面 ACFE外，∴ PE⊥平面 ACFE， ∵ EF⊥ AB,CD⊥ AB, 6x? 6EF x C D xEF xC D BD BD? ? ? ? ?, 221 1 1 16 6 3 9 622 6 2 6A CF E A B C B F ES S S x x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 311 3 6 , ( 0 3 6 )3 66P AC FE AC FEV S PE x x x? ? ? ? ? ? ? （Ⅱ）由（Ⅰ）得 21( ) 3 626V x x? ?? 令 ( ) 0Vx? ? 得 6x? ，且 (0 , 6), ( ) 0x V x???； (6 , ), ( ) 0x V x?? ?? ? 故當 6x? 時， V(x)取得最大值． 評析：對幾何圖形中的動態(tài)變化問題，應分析各個量在變化過程中的相互關系中找到所需要的量，構建相應的函數，轉化為函數求值問題，而在立幾的翻折問題中要注意折前與折后的變與不變量，這也是正確解決問題的關鍵所在． 在概率統(tǒng)計中，也常常通過研究相關函數的性質或方程的解的分布，從 而揭示隨機變量的取值規(guī)律． 例 1．某商店采用“購物摸球中獎”的促銷活動，摸球袋 中裝有 10 個號碼為 n（ 0≤ n≤ 10， n∈ *N ）重為 ? ? 2 9 21f n n n? ? ?克的球，摸球方案如下表 方案 摸獎辦法 獎金 淺談中學數學中的函數與方程思想 15 ① 凡一次購物在 ? ?50,100 元者，摸球一個，若球的重量小于該球的號碼數，則中獎． 10 元 ② 摸出兩球，若兩球的重量相等則中獎 40 元 試比較兩種方案中獎概率的大?。ㄕf明：每個球以等可能性從袋中被摸出，假定 符合條件的顧客均參加摸獎．） 解：當球的重量小于號碼 數時，有 2 9 21n n n? ? ? 解得 3n7, 即 n=4,5,6 則所求概率 1P = 310 設第 n 號與第 m 號的兩個球的重 量相等，不妨設 nm，則有2 9 21nn?? 2 9 21mm?? 即（ nm） (m+n9)=0? m+n=9 所以（ n,m）的取值為（ 1， 8） （ 2， 7） （ 3， 6） （ 4， 5） 所求概率 2P =2104445C ? 即方案 ①的中獎概率大． 運用函數與方程思想解決導數與函數問題函數與方程思想是最重要的一種數學思想． 例 22( ) 2 1 ( , 0)f x tx t x t x R t? ? ? ? ? ? (1)求 f(x)的最小值 h(t) (2)若 h(t)2t+m 對 ? ?0,2t? 恒成立，求實數 m的取值范圍 解： (1) 39。()gt + 0 g(t) 增函數 極大值 1m 減函數 所以 g(t)在（ 0,2）內有最大值 g(1)=1m 所以 h(t)2t+m 在（ 0,2）內恒成立 ? g(t)0 在（ 0,2）內恒成立 ? g(t)在（ 0,2）內的最大值 g(1)=1m0 m1 所以 m的取值范圍為 m1 評析：由于含有字母系數 m，直接解不等式不易得解，而運用函數與方 程思想，把求 m的取值范圍問題轉化為函數 g（ t）在（ 0， 2）內有最大值 g(1)＜ 0，從而得解． （組）來解決一些實際問題． 例 50 輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用為每 日 115 元．根據經驗若每輛自行車的日租金不超過 6 元，則自行車可以全部租出 ,若超過 6 元，則每超過 1 元，租不出去的自行車就增加 3 輛，為了便于計算，每輛自行車的日租金 x( 元 ) 只取整數并且要求出租自行車一日總收入必須高于這一日的管理費用．用 y( 元 )表示出租自行車的日凈收入 ( 即一日中出租自行車的總收入減去管理費用的所得 ) (1)求函數 y=f(x) 的解析式及其定義域 . (2)試問當每輛自行車的日租金定為多少元時才能使一日的凈收入最多 . 解 :(1)當 x≤ 6時， y=50x115 令 50x1150 解得 x 因為 xN? , 所以 x≥ 3 所以 3≤ x≤ 6 xN? 當 x6 時， y=〔 503(x6)〕 x115 令〔 503(x6)〕 x1150，有 23 68 115 0xx? ? ? 此不等式的整數解為 2≤ x≤ 20 (xN? ) 所以 6x≤ 20 (xN? ) 故 ? ?25 0 1 1 5 ( 3 6 , )3 6 8 1 1 5 6 2 0 ,x x x Nyx x x x N? ? ? ???? ?? ? ? ? ? ??? 定義域為 ｛ x︱ 3≤ x≤ 20 xN? ｝ (2)對于 y=50x115 (3≤ x≤ 6 xN? ) 顯然，當 x=6 時， max 185y ? （元） 對于 ? ?22 3 4 8 1 13 6 8 1 1 5 6 2 0 ,33y x x x x x N