【正文】 如 何化繁為簡，找到解題的捷徑，學(xué)會解題技巧，許多教師在長期教學(xué)實踐中不斷地探索研究，發(fā)現(xiàn)如能對某些基本公式加以適當(dāng)變形，靈活運用，則會使得解題思路清晰明朗，解題過程簡潔湊效 .本文就乘法公式、三角公式、遞推公式的基本變形，淺談一下公式變形在中學(xué)數(shù)學(xué)中的靈活應(yīng)用 .現(xiàn)在，公式變形大量應(yīng)用于中、高考題目的計算中 .著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說過：“一個專心認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能拿出一個數(shù)學(xué)公式幫助學(xué)生發(fā)掘它的解題功能 .”因此現(xiàn)在有意地培養(yǎng)中學(xué)生的公式變形能力已經(jīng)成為了中學(xué)教師義不容辭的任務(wù)，各教師都應(yīng)積極尋找并總結(jié)出自己對各種公 式的變形方法及巧妙應(yīng)用，更好地幫助學(xué)生提高解題能力，應(yīng)對各種考試題型 . 寧夏師范學(xué)院 2020 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 14 參考文獻 [1] 程俊松 .公式變形 事半功倍 [J].少年天地（初中 ） ,2020(1):56. [2] 蔣根法 .談?wù)剶?shù)學(xué)公式的運用 [J].同學(xué)少年 ,2020(4):4. [3] 辛臨 .活用數(shù)學(xué)公式例說 [J].初中生 ,2020(3):79. [4] 馮克永 . ?2cos 公式的變形及活用 [J].上海中學(xué)數(shù)學(xué) ,2020（ 2）： 1013. [5] 林慶望 .讓數(shù)學(xué)公式“活”起來 [J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)） ,2020(1):6. [6] 李名德，李勝宏 .高中數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)教程（ 第二版） [M].浙江 :浙江大學(xué)出版社 ,2020年 6月：110111. [7] 馮寅 .談數(shù)學(xué)公式的學(xué)習(xí) [J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué) ,2020(2):89. [8] 劉真真 .由遞推公式求數(shù)列通項公式常見題型及解法 [J].基礎(chǔ)教育論壇 ,2020(3):68. [9] 米小淵 .由遞推公式求數(shù)列通項公式常見問題分析 [J].語數(shù)外方法技巧 ,2020(4):23. 寧夏師范學(xué)院 2020 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 15 謝辭 四年的在校學(xué)習(xí)、生活以及論文寫作的過程中得到很多老師和同學(xué)的支持與幫助 .首先要感謝的是我的指導(dǎo)教師 — 李老師 .她對工作的認(rèn)真與負(fù)責(zé)、真誠的做人態(tài)度和作為教師對學(xué)生不倦教誨的精神，令我很受觸動 .在論文的選題、撰寫、修改、定稿中都凝聚了李老師的大量心血 .李老師悉心的指導(dǎo)與嚴(yán)格的監(jiān)督，促使我最終圓滿地完成了論文 .李老師的為人作風(fēng)與嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度將會在我今后的學(xué)習(xí)和工作中繼續(xù)產(chǎn)生重要影響 .值此論文完成之際，我謹(jǐn)向 李老師致以深深的敬意和感謝 !同時，此次論文的完成也離不開其他老師和同學(xué)的支持與幫助，借此機會，向各位老師和同學(xué)一并獻上誠摯的感謝與祝福 .此次論文的寫作過程對我來說是一次學(xué)習(xí)過程，其中遇到了很多的困難，雖然盡力解決，但由于某些理論知識的欠缺、分析技術(shù)和資料掌握的局限，使論文在研究的深度和精細(xì)程度上遠(yuǎn)遠(yuǎn)不足，論文中肯定存在不少的問題和錯誤，敬請各位老師在審閱中給予批評、指正 . 。 bban ??? 11 寧夏師范學(xué)院 2020 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 12 又設(shè) nn bx )1( ?? 11 )1( ?? ?? nn bba（ 2?n ），寫出用n 和 b 表示的 }{na 的通項公式 . 解 將已知的遞推公式兩邊同時乘以 nb)1( ? ，得： nb)1( ? 12aa 得： 寧夏師范學(xué)院 2020 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 11 31)12)(12( 31 ??? ?? nna n 14 12 ?? n 當(dāng) 1?n 時，12 3114 1 an ??? 所以，14 12 ?? nan （ ??Nn ） （ 4） qpaa nn ???1 型 對于這種類型的題目，常見的有以下三種變形方法 [7]： ①將原式配湊成 )( 11 ?? ??? nnnn aapaa 的形式，再用累加法求通項 na . ②將原式變形為 )1(11 ?????? p qapp qa nn，再根據(jù)等比數(shù)列的相關(guān)知識求 na . ③將原式變形為111 ??? ?? nnnnn pqpapa，先用累加法求出nnpa，再求 na . 例 18 在數(shù)列 }{na 中， 11?a ，當(dāng) 2?n 時，有 23 1 ?? ?nn aa ，求數(shù)列的通項公式 na . 解 由已知遞推公式 23 1 ?? ?nn aa 得： 231 ??? nn aa （ 2?n ），將這兩個式子左右兩邊 分別相減，即可得到變形遞推公式 )(3 11 ?? ??? nnnn aaaa ，因此，數(shù)列 }{ 1 nn aa ?? 是以412 ??aa 為首項，以 3為公比的等比數(shù)列，則 11 34 ?? ??? nnn aa ， 即 13423 ????? nnn aa ，所以 132 1 ??? ?nna . （ 5） nnn qpaa ???1 型 [8] 對于這種類型的題目，可將原式變形為qpqann ???1121??nnaa ???11 )(ni if. 例 17 已知數(shù)列 }{na 中， 311?a， 12 32 ??? nnan? na 變形為)(1 nnn faa ??，用累積法： 1?? nnn aaa 它打破了思維定勢，改變了思考角度，另辟蹊徑，制勝于出人意料，既 加強了對知識的理解，又開拓了解題思路，提高了思維的靈活性 . “湊用公式”是對不符合公式、但有某些公式的“影子”的問題，通過適當(dāng)變化后 湊成公式模式再套用，使思維打破了靜態(tài)，開始低速流動，向發(fā)散思維方向前進 . “多用公式”是指將一個基本公式通過移項、分配、結(jié)合、代換等基本的變形，可以得到許多相應(yīng)的新形式，靈活運用，解題思路唾手可得 .當(dāng)然，這樣做思維量極大， 卻是在更廣闊的背景中運用公式，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的高度靈活性，有助于發(fā)散思維、創(chuàng)新思維的培養(yǎng) . “橫用公式”是要把思維的觸覺引向數(shù)學(xué)的各個分支，乃至其他的學(xué) 科，溝通有關(guān)寧夏師范學(xué)院 2020 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 3 知識之間的聯(lián)系，拓展應(yīng)用范圍，解決實際問題 . “推廣公式”是在掌握了課本中的幾個基本公式后，進一步深化學(xué)習(xí)對公式進行推廣運用，這樣既鞏固深化了所學(xué)知識，又能為解題帶來很多方便 . 提高中學(xué)生公式變形能力的意義 在數(shù)學(xué)知識體系中，基本概念、基本定理和基本公式是最重要的基礎(chǔ)要素，在給定條件的前提下，許多問題可以直接運用這些“基本”便可以求出來，所以掌握了上述三個“基本 ” ，解決一般性的習(xí)題是比較容易的 .但一些特殊類型的問題，由于給定條件不同、問題的類型不同及學(xué)生的掌握程度不同，就很難直接運 用基本公式解題了，需要根據(jù)給定條件，對基本公式加以推導(dǎo)與等價變形，即通常指的“公式變形”來找到解題的捷徑 .其實，“公式變形”就是在原來公式的基礎(chǔ)上變換成一種新的形式，或者將原公式進行一定的推廣 .解題者只要對原基本公式熟練掌握之后，根據(jù)題目中出現(xiàn)的公式形式或部分形式聯(lián)想到原形公式，就能比較靈活地運用公式變形解題 .將 公式巧妙變形之后再用，不僅能使解題過程簡捷，令人有賞心悅目之美感， 而且能 使學(xué)生避免沿襲思維的慣常定勢 ,培養(yǎng)其 創(chuàng) 新 思維 、逆向思維及探究能力等 . 學(xué)生在運用公式時，通常的弊病表現(xiàn)在一個“死 ” 字上， 即公式運用不靈活，將原公式進行變形的能力較差 .因此，講授數(shù)學(xué)公式時應(yīng)加強公式變形的練習(xí)，不斷提高學(xué)生解題中的變形能力，從而使學(xué)生掌握更多的解題技巧，真正達到對公式會學(xué)、會用的目的 . 實際上，運用公式變形解題并不是特別難的事，關(guān)鍵是先掌握好原形基本公式，在 對其熟練掌握的情況下，就能把變形公式中的變形形式挖掘出來，從而順利地解決問題 .作為一名教師來說，在教學(xué)中應(yīng)該有意識地培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力，有重點地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會觀察題目中出現(xiàn)的變形公式與原形公式的相同之處，使學(xué)生能