【正文】 程與二次函數(shù)的有關(guān)理論． 例 m: 1y kx??和雙曲線 221xy??的左支交于 A、 B兩點，直線 L過 點 P(2， 0)和線段 AB 的中點 M，求 L在 y軸上的截距 b的取值范圍 . 剖析 :b 的變化是由于 k的變化而 引起的，即對于 k 的任一確定的值 .b 有確定 的值與之對應(yīng)，因此 b是 k的函數(shù)，本題即為求這個函數(shù)的值域 . 解：由 ? ?221 11y kx xxy??? ??? ???消去 y得 : ? ?221 2 2k x kx o? ? ? ? (*) 因為直線 m 與雙曲線的左支有兩個交點，所以方程 (*)有兩個不相等的負(fù)實數(shù)根． 所以? ?2212 212 24 8 1 02 012 01kkkxxkxxk?? ? ? ? ????? ? ?????? ??? ?? 解得 12k?? 設(shè) M? ?00,xy 則 120 200 221111xx kxky kx k?? ???? ???? ? ?? ?? 由 P(2， 0)， M 221,11kkk????????,Q(0,b)三點共線，不難得出2 222b kk? ? ? ? 設(shè) ? ? 22 1 1 72 2 248f k k k k??? ? ? ? ? ? ? ?????，則 ??fk在 ? ?12， 上為減函數(shù)． 所以 ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 0f f k f f k? ? ?且， ? ? ? ? ? ?2 2 0 0 1f k f k? ? ? ? ? ?或 所以 22b ? ? ? 或 b2 評析 :根據(jù)函數(shù)的思想建立 b與 k的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)方程的思想，運用二次方程的理論具體求出 b的表達(dá)式，是解此題的兩個關(guān)鍵問題 .不少解析幾何問題，其中某淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想 14 些元素處于運動變化之中，存在著相互聯(lián)系、相互制約的量，它們之間往往構(gòu)成函數(shù)關(guān)系 。試題的第二問也是 淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想 11 利用方程組通過消元來獲解 。 (Ⅱ )若 s=f(t)在 [1,+∞ )上遞增 ,求 k的范圍 . 解： (Ⅰ )易知 1ab?? 0ab?? 又由 xy? 得 2( ) 0a t k b s a tb? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 化簡得 s=f(t)= 3t kt? (Ⅱ ) 39。()fx 0 + ()fx 減函數(shù) 極小值 3 1tt? ? ? 增函數(shù) 所以 f(x)的最小值 h(t)= 3 1tt? ? ? (2)由（ 1）得 h(t)= 3 1tt? ? ? 令 g(t)=h(t)(2t+m)= 3 1tt? ? ? +2tm = 3 31t t m? ? ? ? 由 39。②該題凸現(xiàn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)、不等式的工具作用 ,具有思路清晰、明快簡潔等特點 ,注重其方法 領(lǐng)會要領(lǐng) ,強(qiáng)化應(yīng)用意識 。二是將已知方程變形轉(zhuǎn)化，將 a 作為 t的函數(shù)，把求 a的取值范圍轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域的問題 . 解法一 :令 2x t? ， (tO).則原方程即為 2 10t at a? ? ? ? (*). ①當(dāng)方程（ *）的根都在 (0， ?? )上時，可得下式 : ? ?212124 1 0010aat t at t a?? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ??解得2 2 2 2 2 201aaaa? ? ? ? ????? ???或 即 1 2 2 2a? ? ? ②當(dāng)方程 (*)的一個根在 (o， ?? )上，另一個根在 (?? ， 0〕上時，若令? ? 2 1f t t at a? ? ? ?，則有 ? ?0 0 0 12afa? ? ? ?且 即 由①②可得實數(shù) a 的取值范圍是 2 2 2a?? 淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想 7 解法二 :令 2x t? (t0)，則原方程即為 2 10t at a? ? ? ? 所以 ? ?? ?21212112 2 2 2 2 2tattt?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? 即 2 2 2a?? 評析：解法一運用方程中根與系數(shù)的關(guān)系及分類思想，求解過程較煩．而解法 二采用分離參數(shù)法，構(gòu)造函數(shù)，運用均值不等式求出 a 的取值范圍解法簡單且容易 操作． 例 2．已知二次函數(shù) f(x)的二次項系數(shù)為 a且不等式 f(x)2x 的解集為 (1,3), 若方程 f(x)+6a=0 有兩個相等實根，求 f(x)的解析式． 分析：此題若能把二次不等式的解集轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題即可獲解． 解： f(x)2x 的解集為（ 1， 3） 即 f(x)+2x0 的解集為（ 1， 3） ?f(x)+2x=a(x1)（ x3） 且 a0 ?f(x)= a(x1)(x3)2x= ? ?2 2 4 3ax a x a? ? ? ① 由 ? ? 60f x a??得 ? ?2 2 4 9 0ax a x a? ? ? ? ② 由題意方程②有兩個相等實根 ?△ =0 即 25 4 1 011,5015aaaaaa? ? ?? ? ???? ?? 代入①得 ? ? 21 6 35 5 5f x x x? ? ? ? 函數(shù)、方程、不等式三者之間緊密相關(guān)，可適當(dāng) 轉(zhuǎn)化． 以一元函數(shù)為例，函數(shù) y＝ f(x)的圖像與 x軸的交點的橫坐標(biāo)就是方程 f(x)=0 的解，函數(shù)圖像位于 x軸上方的部分對應(yīng)的橫坐標(biāo)的取值就是不等式 f(x)＞ 0的解， 它們之間的這種關(guān)系使得在解決實際問題是，可進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化、化歸． 例 1的圓 o 內(nèi)切于 Rt△ ABC,求證： ABCS? 不小于 3 2 2? . 淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想 8 acbOB CA 證明： 如圖，設(shè)∠ C= 090 ,Rt△ ABC 三邊的長分別 為 a,b,c 因為 r= 12a b c??? 所以 a+b=c+2 又因為 2 2 2a b c?? 所以 ? ?2 22a b ab c? ? ? 即 ? ?2 22 222ccab c??? ? ? 所以 a,b 為一元二次方程 ? ?2 2 2 2 0x c x c? ? ? ? ?的兩實數(shù)根． 于是 2 4 4 0cc? ? ? ? ? 解得 2 2 2 2 2 2cc? ? ? ?或 由 c0 得 2 2 2c?? 又 1 12ABCS ab c? ? ? ? 所以 3 2 2ABCS? ?? 評析：此題若直接去求三角形的面積有難度， 利用一元二次方程根與系數(shù)的 關(guān)系構(gòu)造方程很容易證明． 例 ? ? ? ?2 1 , , 0f x a x b x a b R a? ? ? ? ?設(shè)方程 f(x)=x 的兩個實數(shù) 根為 1, 2xx．如果 1224xx? ? ? 設(shè)函數(shù) f(x)的對稱軸為 0xx? 求證 0 1x?? . 證明：設(shè) ? ? ? ? ? ?2 11g x f x x a x b x? ? ? ? ? ? 則 ? ? 0gx? 的二根為 1x 和 2x ． 由 a0 及 1224xx? ? ? 可得 (2) 0(4) 0gg ??? ??即 4 +2 1 016 4 3 0abab???? ? ? ?? 即 33 3 024baa? ? ? ① 34 2 024baa? ? ? ? ② ① +②得 12ba? 12ba? ?? ? 0 1x?? 評析：此題利用了“二次方程根的分布問題”，使問題迎刃而解． 小結(jié) ：設(shè) 1x ， 2x 是實系數(shù)二次方程 ? ?2 00ax bx c a? ? ? ?的兩根， 根的分布對照 淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想 9 2y ax bx c? ? ? 圖象，知其等價不等式組的關(guān)系是： ① 若 1x 2xm??， 則 ? ?002fmb ma???????????? ② 若 12m x x?? 則 ? ?002fmb ma?????