畢業(yè)論文--方程思想探究及其解題妙用(存儲(chǔ)版)
【正文】 的目標(biāo)：為了求未知數(shù)； ②陳述了“已知數(shù)”的存在，解方程需要充分利用已知數(shù)和未知數(shù)之間的關(guān)系； ③方程的本質(zhì)是“關(guān)系”，而且是一個(gè)等式關(guān)系. 在高等數(shù)學(xué)中方程的定義：形如的等式叫做方程，其中，是在它們定義域的交集內(nèi)研究的兩個(gè)解析式，且至少有一個(gè)不是常函數(shù).陳重穆教授指出，方程的邏輯定義不必深究，到時(shí)關(guān)于未知數(shù)的思想，需要特別關(guān)注，方程屬于知識(shí)體系，？ 在《標(biāo)準(zhǔn)》中關(guān)于方程思想闡述了這樣一個(gè)觀點(diǎn)：（1）方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效模型；（2）方程沒有一般解法；（3）“方程思想是一座橋梁，一座聯(lián)系已知和未知的橋梁.”總的來(lái)說(shuō)對(duì)問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系的分析入手，應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，使問(wèn)題獲解的思想方法，稱為方程思想. 任何事物的發(fā)展都有一個(gè)過(guò)程,人類對(duì)方程的研究也經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的歲月. 公元前2000年公元前1700年,古埃及——紙草上的方程(如《蘭德紙草書》、《柏林紙草書》等)中就已經(jīng)用“試位法”精確地得到一元一次方程的解,但對(duì)于二次以上的方程,這種方法只能給出近似解.公元前2000年左右,古巴比倫人就已經(jīng)掌握了解一些一元二次方程的方法希臘數(shù)學(xué)家丟番圖《算術(shù)》中，討論了一次方程、二次方程和個(gè)別三次方程，《阿耶波多歷數(shù)書》《婆羅摩笈多修正體系》一書中，也給出了一般二次方程的求根公式. 花拉子米的《代數(shù)學(xué)》一開頭就指出：下列的問(wèn)題，都是由根、二次方程，分六章來(lái)敘述. 中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有“方程”章，包含了很多關(guān)于方程的問(wèn)題.“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，、中、下禾實(shí)一秉各幾何？”《九章算術(shù)》沒有表示未知數(shù)的符號(hào)，而是用算籌將的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)排列成一個(gè)（長(zhǎng)）方陣，這就是“方程”之一名稱的來(lái)源. 采用分離系數(shù)的方法表示線性方程組、用直除法解線性方程組這是世界上最早的完整的線性方程組的解法,西方直到十七世紀(jì)才由萊布尼茲提出了許多隱含了函數(shù)與方程思想的著名趣題,如“五家共井”(“方程”章第十三題)、“百雞問(wèn)題”(《張丘建算經(jīng)》下卷第三十八題)、“韓信點(diǎn)兵——孫子問(wèn)題”(《孫子算經(jīng)》)等在民間傳說(shuō)著公元3世紀(jì),趙爽的《勾股圓方圖說(shuō)》給出了形如的二次方程的求解步驟. 公元7世紀(jì)王孝通的《緝古算經(jīng)》中解決了不少三次方程求解的實(shí)際問(wèn)題 公元13世紀(jì)的中國(guó)，在求高次方程數(shù)值解，“天元術(shù)”（1248年）和朱世杰使用的“四元術(shù)”（1303年）16世紀(jì),方程解法有了重大的突破,費(fèi)羅和塔塔利亞分別在1515年和1535年給出了三次方程的代數(shù)解法1545年，卡爾丹在《大衍術(shù)》，實(shí)質(zhì)是考慮恒等式，若選取，使得 , 不難解出，,，于是得到就是所求的x，后人稱之為卡爾丹公式.此后很長(zhǎng)的一段時(shí)期里,人們幵始討論一般的五次方程的解法,歐拉和拉格朗日都進(jìn)行了嘗試,但都以失敗告終直到19世紀(jì),魯菲尼和阿貝爾都證明一般的五次及以上的方程沒有求根公式.幫助學(xué)生樹立方程的思想，是數(shù)學(xué)“雙基”的重要內(nèi)容，.20世紀(jì)70年代，他發(fā)現(xiàn)12樓客房的室溫，乃是連接地下室和12樓空調(diào)器的三根導(dǎo)線不一樣長(zhǎng)，？，想到了方程.盡管單根電線的電阻很難預(yù)測(cè)知，但是12樓上兩根電線連接起來(lái)，他列出了以下的方程 ╱╱╱ х У Ζ 解這樣的聯(lián)立方程是每個(gè)初中生都會(huì)做的，但是能夠在測(cè)量電阻時(shí)想到運(yùn)用方程思想求未知數(shù)，韋達(dá)在他的5分析方法入門6(巧91)著作中,首次系統(tǒng)地使用了符號(hào)表示未知量的值進(jìn)行運(yùn)算,提出符號(hào)運(yùn)算與數(shù)的區(qū)別,規(guī)定了代數(shù)與算術(shù)的分界韋達(dá)是第一個(gè)試圖創(chuàng)立一般符號(hào)代數(shù)的的數(shù)學(xué)家,他開創(chuàng)的符號(hào)代數(shù),在17世紀(jì)經(jīng)笛卡爾改進(jìn)后成為現(xiàn)代的形式笛卡爾用小寫字母a,b,C等表示己知量,而用x,y,z代表未知量這種用法己經(jīng)成為當(dāng)今的標(biāo)準(zhǔn)用法,它為方程理論的現(xiàn)代化奠定了基礎(chǔ). 同時(shí),笛卡爾在《指導(dǎo)思維的法則》一書中還提出了一種解決一切問(wèn)題的“萬(wàn)能方法”,其模式是:(1)把任何種類的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。 problem solving。解：(Ⅰ)由題：； (1)左焦點(diǎn)(﹣c，0)到點(diǎn)P(2，1)的距離為：． (2)由(1) (2)可解得：．∴所求橢圓C的方程為：．(Ⅱ)易得直線OP的方程：y＝x，設(shè)，R(x0，y0)．其中y0＝x0．∵A，B在橢圓上，∴．設(shè)直線AB的方程為l：y＝﹣(m≠0)，代入橢圓：．顯然．∴﹣＜m＜且m≠0．由上又有：＝m，＝．∴|AB|＝||＝＝．∵點(diǎn)P(2，1)到直線l的距離表示為：．
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