畢業(yè)論文--方程思想探究及其解題妙用(完整版)
【正文】 可得 令，則 (8) 因為在上連續(xù)上連續(xù). 故由例一可知，(8)有唯一的解 ，(是一個唯一固定的常數(shù))，. . 故，令，則 (9)【注】：如在例三中，不要求為連續(xù)函數(shù)，則解未必是唯一的. 例如函數(shù) (10) 不難看出它也是(7)的解.由此可見：方程思想在解決具體數(shù)學(xué)問題時起著不可小視的作用, 其適用的范圍相較廣，別是在處理中學(xué)數(shù)學(xué)問題時, 幾乎可運用于中學(xué)數(shù)學(xué)的各個部分, 這從前面列舉的各個例子中可以看到, 至于在解析幾何、立體幾何等不同數(shù)學(xué)分支中, 許多問題最終都是可以通過建立方程式, 運用方程思想來解決. 近幾年初中數(shù)學(xué)競賽中, 經(jīng)常出現(xiàn)最值問題, 考慮到構(gòu)造方程, 利用方程思想是解決有關(guān)最值問題的良好途徑. 例13：已知實數(shù)滿足 求的最大值和最小值.解：令，則所以可變式為：去括號整理得：因為x是不為0的實數(shù)所以有：整理即得：所以可解得：即故的最大值是，的最小值是點評分析：要求的最值，題中沒有直接給出關(guān)于x、y的等式，但給出了聯(lián)系x、y的方程，所以可設(shè)參數(shù)k,溝通已知和未知的聯(lián)系，這時問題就轉(zhuǎn)變?yōu)榍髃值最值的問題了，. 例14：（北京市東城區(qū)高三綜合復(fù)習(xí)）已知函數(shù)的最大值為,最小值為，則+的值為？解析：首先觀察題目，我們可以對變形，那么如何求最大值、最小值呢？如果單獨求的話，似乎比較難這時我們可以利用方程思想：令，此時，所以+的值為2主要是巧妙設(shè)元代替，如果單獨算出最大最小值，不僅方法難，. 假設(shè)是一個常數(shù)矩陣，使得關(guān)于的線性代數(shù)方程組具有非零解的常數(shù)稱為的一個特征值而非零解則稱為的對應(yīng)于特征值的特征向量次多項稱為的特征多項式，次代數(shù)方程稱為的特征方程. 例15：試求矩陣的特征值和對應(yīng)的特征向量.解 ： ，對應(yīng)于特征值的特征向量必須滿足線性方程組因此，滿足方程組所以對應(yīng)任意常數(shù) ，有是對應(yīng)于的特征向量類似地，對應(yīng)于的特征向量為其中是任意常數(shù)方程思想方法與方程知識的獲得是相輔相成的，方程思想是對方程知識發(fā)生過程的提煉、抽象、概括和升華，是對數(shù)學(xué)方程規(guī)律的理性認識，能夠使得學(xué)生更加深刻地領(lǐng)會方程所包含的思想方法及由此形成的數(shù)學(xué)知識體系。(2)把任何種類的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。 in the exam。,具有廣泛的現(xiàn)實意義.高中階段對方程學(xué)習(xí)有較高的要求，無論是領(lǐng)會方程與函數(shù)的關(guān)系還是代數(shù)方程與幾何學(xué)圖形之間的關(guān)系，都與方程有關(guān)，包括：函數(shù)與方程，直線與方程，圓與方程，圓錐曲線與方程，二階矩陣與二元一次方程組、一階線性差分方程、要求學(xué)生掌握方程思想，是中學(xué)生解決問題的重要途徑之一. 題海茫茫，何處是岸？鑒于方程在數(shù)學(xué)中的重要作用和基礎(chǔ)地位，如《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》第三學(xué)段中明確提出了“方程與方程組”：數(shù)學(xué)有“好”數(shù)學(xué)和“不大好”，就是“好”的數(shù)學(xué)的代表，它是最基本的解題方法之一，也是中學(xué)生解題的重要搭建平臺. 《數(shù)學(xué)課程標準解讀》（實驗稿）指出：“中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識主要是中學(xué)代數(shù)、幾何中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法.”這里把數(shù)學(xué)思想方法列為基礎(chǔ)知識的重要組成部分體現(xiàn)了義務(wù)教育的性質(zhì)任務(wù)，有利于揭示知識的精神實質(zhì)，在整個初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作中，必然要把數(shù)學(xué)思想方法和知識，技能融為一體，放到突出的位置上. 為了更好的說明方程思想的重要性，下面將用例子說明.要準確靈活運用方程思想，要知道方程的種類有哪些，下面是方程的分類： 方程的分類多種多樣，下面從幾種典型方程作為探究對象，利用它們的性質(zhì)解題. 運用方程思想解代數(shù)題（1）利用方程的韋達定理 例1：已知方程的兩個根，求的值.解：根據(jù)韋達定理知:,所以 0因為== 又所以=評析：初中運用韋達定理非常廣泛，在做題時要掌握兩根之和，兩根之積的值，然后直接運用到所求問題中.（2） 利用根與系數(shù)的關(guān)系求出已有跟的多項式（高等代數(shù)第四版68頁）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，若多項式，有以下形式： .............................. 例2：求有單根5與2以及二重跟3的四次多項式
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