畢業(yè)論文--方程思想探究及其解題妙用-在線瀏覽
2025-03-07 06:51本頁面
【正文】 ,笛卡爾在《指導(dǎo)思維的法則》一書中還提出了一種解決一切問題的“萬能方法”,其模式是:(1)把任何種類的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。(2)把任何種類的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。二是在運(yùn)算 中遵循最佳的途徑,將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化,這種優(yōu)化思想對(duì)人的思維習(xí)慣的影響是深遠(yuǎn) .,但是,在中學(xué)時(shí)期,過早地形式化、過度形式化對(duì)學(xué)生害大于益!方程思想包含三層意思:數(shù)與符號(hào)的統(tǒng)一關(guān)系的思想。,具有廣泛的現(xiàn)實(shí)意義.高中階段對(duì)方程學(xué)習(xí)有較高的要求，無論是領(lǐng)會(huì)方程與函數(shù)的關(guān)系還是代數(shù)方程與幾何學(xué)圖形之間的關(guān)系，都與方程有關(guān)，包括：函數(shù)與方程，直線與方程，圓與方程，圓錐曲線與方程，二階矩陣與二元一次方程組、一階線性差分方程、要求學(xué)生掌握方程思想，是中學(xué)生解決問題的重要途徑之一. 題海茫茫，何處是岸？鑒于方程在數(shù)學(xué)中的重要作用和基礎(chǔ)地位，如《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》第三學(xué)段中明確提出了“方程與方程組”：數(shù)學(xué)有“好”數(shù)學(xué)和“不大好”，就是“好”的數(shù)學(xué)的代表，它是最基本的解題方法之一，也是中學(xué)生解題的重要搭建平臺(tái). 《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》（實(shí)驗(yàn)稿）指出：“中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)主要是中學(xué)代數(shù)、幾何中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法.”這里把數(shù)學(xué)思想方法列為基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分體現(xiàn)了義務(wù)教育的性質(zhì)任務(wù)，有利于揭示知識(shí)的精神實(shí)質(zhì)，在整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作中，必然要把數(shù)學(xué)思想方法和知識(shí)，技能融為一體，放到突出的位置上. 為了更好的說明方程思想的重要性，下面將用例子說明.要準(zhǔn)確靈活運(yùn)用方程思想，要知道方程的種類有哪些，下面是方程的分類： 方程的分類多種多樣，下面從幾種典型方程作為探究對(duì)象，利用它們的性質(zhì)解題. 運(yùn)用方程思想解代數(shù)題（1）利用方程的韋達(dá)定理 例1：已知方程的兩個(gè)根，求的值.解：根據(jù)韋達(dá)定理知:,所以 0因?yàn)?= 又所以=評(píng)析：初中運(yùn)用韋達(dá)定理非常廣泛，在做題時(shí)要掌握兩根之和，兩根之積的值，然后直接運(yùn)用到所求問題中.（2） 利用根與系數(shù)的關(guān)系求出已有跟的多項(xiàng)式（高等代數(shù)第四版68頁）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，若多項(xiàng)式，有以下形式： .............................. 例2：求有單根5與2以及二重跟3的四次多項(xiàng)式， ，因此所求多項(xiàng)式是或，其中有許多平面幾何問題從表面上看, 與方程沒有多少直接聯(lián)系, 但是認(rèn)真分析這些問題的數(shù)量關(guān)系, 通過建立方程, 可得到問題的解.（1）基礎(chǔ)題 例3：(1998 年北京市) 如圖1, 在中，D是BC邊上的一點(diǎn)，DEAB與E，,若DE:AE=1：5，BE=3，求的面積.解析：不妨假設(shè)DE=，那么AE=此時(shí)，可求出用表示的BD邊長(zhǎng)度，在直角三角形ADE中，DE和AE知道，根據(jù)勾股定理可求出用表示的AD的長(zhǎng)度，又故AC=CD斜邊知道，在大直角三角形ABC中，AC=，BC=+，AB=3+，BD的長(zhǎng)度也可知，即ABD面積可求. 分析：本案例是幾何求值綜合題，因此要引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)分析，利用正方形構(gòu)成直角三角形布列等式，從而得出解題方法. （2） 動(dòng)點(diǎn)問題 例4：如圖，在直角梯形中,點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與重合）過點(diǎn)作//交于點(diǎn)(當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，與重合）把沿對(duì)折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)設(shè)，與梯形重疊部分的面積為(1) 求的長(zhǎng)(2) 若點(diǎn)恰好在上，求此時(shí)的值(3) 求與支架的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)為何值時(shí)，的值最大？最大值是多少？解：（1）過點(diǎn)作垂直于點(diǎn)，因?yàn)椋?又易知是矩形，所以(2) 由（1)知，且所以,故與重疊，當(dāng)點(diǎn)恰好在上時(shí)，可知,，有，解得(3) 如圖3所示，當(dāng)時(shí)，陰影部分的面積等于的面積減去空白部分的面積空白部分的面積與面積成比例，所以當(dāng)時(shí)，（1） “火眼金睛”看題目，方程思想最優(yōu)法 例5：(廣東深圳市調(diào)研考試題）如圖，已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)且與軸相切，點(diǎn)關(guān)于圓心的對(duì)稱點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.（1） 求曲線的方程；（2） 設(shè)是曲線上的一個(gè)定點(diǎn)，過點(diǎn)作任意兩條傾斜角互補(bǔ)的直線，分別與曲線相交于另外兩個(gè)點(diǎn).①證明：直線斜率為定值；②記曲線位于兩點(diǎn)之間的那一段為，若點(diǎn)在上，且點(diǎn)到直線的距離最大，求點(diǎn)的坐標(biāo).解：（1）解法一：設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，且點(diǎn)關(guān)于圓的對(duì)稱點(diǎn)，所以，且圓的直徑為，由題意，動(dòng)圓與軸相切，所以，兩邊平方整理得，所以曲線的方程為解法二：因?yàn)閯?dòng)圓過定點(diǎn)且與軸相切，所以動(dòng)圓在軸上方，連接,因?yàn)殛P(guān)于圓心的對(duì)稱點(diǎn)為，垂足為,過點(diǎn)作軸，即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到軸的距離大1，又動(dòng)點(diǎn)位于軸的上方，以直線為準(zhǔn)
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