高考數(shù)學解題思想三：函數(shù)與方程思想-在線瀏覽
2025-07-25 23:44本頁面
【正文】 無蓋水池，如果池底和池壁的造價每平方米分別為120元和80元，則水池的最低造價為___________。Ⅱ、示范性題組：例1. 設(shè)a0，a≠1，試求方程log(x－ak)＝log(x－a)有實數(shù)解的k的范圍?！窘狻?將原方程化為：log(x－ak)＝log， 等價于 （a0,a≠1）∴ k＝－ ( ||1 ）, 設(shè)＝cscθ， θ∈(－,0)∪(0, )，則 k＝f(θ)＝cscθ－|ctgθ|當θ∈(－,0)時，f(θ)＝cscθ＋ctgθ＝ctg－1，故k－1；當θ∈(0, )時，f(θ)＝cscθ－ctgθ＝tg∈(0,1)，故0k1；綜上所述，k的取值范圍是：k－1或0k1。一般地，此種思路可以解決有關(guān)不等式、方程、最大值和最小值、參數(shù)范圍之類的問題。另一種解題思路是采取“數(shù)形結(jié)合法”： 將原方程化為：log(x－ak)＝log，等價于x－ak＝ (x－ak0)，設(shè)曲線C：y＝x－ak，曲線C：y＝ (y0)，如圖所示。所以k的取值范圍是：k－1或0k1。所以k的取值范圍是：k－1或0k1。求x的取值范圍。然而，若變換一個角度以m為變量，即關(guān)于m的一次不等式(x－1)m－(2x－1)0在[2,2]上恒成立的問題?！窘狻繂栴}可變成關(guān)于m的一次不等式：(x－1)m－(2x－1)0在[2,2] 恒成立，設(shè)f(m)＝(x－1)m－(2x－1),則 解得x∈（,）【注】 本題的關(guān)鍵是變換角度，以參數(shù)m作為自變量而構(gòu)造函數(shù)式，不等式問題變成函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題。一般地，在一個含有多個變量的數(shù)學問題中，確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問題更明朗化。例3. 設(shè)等差數(shù)列{a}的前n項的和為S，已知a＝12，S0，S0 。(92年全國高考)【分析】 ①問利用公式a與S建立不等式，容易求解d的范圍；②問利用S是n的二次函數(shù)，將S中哪一個值最大，變成求二次函數(shù)中n為何值時S取最大值的函數(shù)最值問題。 解得：－d－3。由－d－3得6(5－)，故正整數(shù)n＝6時[n－(5－)]最小，所以S最大。也可以利用方程的思想，設(shè)出未知的量，建立等式關(guān)系即方程，將問題進行算式化，從而簡潔明快。本題的另一種思路是尋求a0、a0 ，即：由d0知道aa…a，由S＝13a0得a0，由S＝6(a＋a)0得a0。例4. 如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在平面，C是圓周上任一點，設(shè)∠BAC＝θ，PA＝AB=2r，求異面直線PB和AC的距離?！窘狻?在PB上任取一點M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H，設(shè)MH＝x，則MH⊥平面ABC，AC⊥HD 。【注】 本題巧在將立體幾何中“異面直線的距離”變成“求異面直線上兩點之間距離的最小值”，并設(shè)立合適的變量將問題變成代數(shù)中的“函數(shù)問題”。比如再現(xiàn)性題組第8題就是典型的例子。tgC＝2＋，又知頂點C的對邊c上的高等于4,求△ABC的三邊a、b、c及三內(nèi)角。【解】 由A、B、C成等差數(shù)列，可得B＝60176。tgBtgC－1)＝ (1＋)設(shè)tgA、tgC是方程x－(＋3)x＋2＋＝0的兩根，解得x＝1，x＝2＋設(shè)AC，則tgA＝1，tgC＝2＋， ∴A＝，C＝
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