【正文】 ? 2 1nS? =20(n+1)8. ② ② ①得 :5(n+1) 2na? 5n 1na? 8 2na? 2 1na? =20, 即 (5n3) 2na? (5n+2) 1na? =20. ③ 又 (5n+2) 3na? (5n+7) 2na? =20 ④ ④ ③得 :(5n+2)( 3 2 12n n na a a? ? ???) =0, 3 2 12n n na a a? ? ???=0 ∴ 3 2 2 1 3 2........n n n na a a a a a? ? ? ?? ? ? ? ? ?=5, 又 21aa? =5, 因此 ,數(shù)列 {an}是首項(xiàng)為 1,公差為 5的等差數(shù)列 . (Ⅲ )不妨設(shè) m≤ n,則可設(shè)左邊 = f(m,n)= ? ? ? ? ? ?2 0 2 0 3 65 5 4 5 4 5 4mnm n m n??? ? ? ?≥? ? ? ? ? ?2 20 20 365 5 4 5 4 5 4mnn n n??? ? ? ?= ? ?,gmn 是關(guān)于 m的一次函數(shù)且單調(diào)遞增． 所以 f(m,n) ≥ g(1,n)= ? ?220 165 5 4 5 4nnn?? ? ?顯然 g(1,1)= 4 151??而2n? 時(shí)， f(1,n)≥ g(1,n) ? ?20 165 5 4nnn???= ? ? ? ?10 4 10 12 110 4nnn? ? ? ?? 因此 ,不等式 51mn m na a a??對(duì)任何正整數(shù) m、 n都成立 . 評(píng)析 :試題的第一問(wèn)只要簡(jiǎn)單的賦值即可得到方程組來(lái)解決 。試題的第三問(wèn)通過(guò)變換 ,可視為自變量 m 的一次函數(shù) ,再利用函數(shù)的單調(diào)性將問(wèn)題迎刃而解 。 (Ⅱ )若 s=f(t)在 [1,+∞ )上遞增 ,求 k的范圍 . 解： (Ⅰ )易知 1ab?? 0ab?? 又由 xy? 得 2( ) 0a t k b s a tb? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 化簡(jiǎn)得 s=f(t)= 3t kt? (Ⅱ ) 39。()ft≥ 0 恒 淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想 13 成立 .由 39。②該題凸現(xiàn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)、不等式的工具作用 ,具有思路清晰、明快簡(jiǎn)潔等特點(diǎn) ,注重其方法 領(lǐng)會(huì)要領(lǐng) ,強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí) 。對(duì)于直線和曲線交點(diǎn)問(wèn)題，經(jīng)常要轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，用方程的理論加以解決 . 立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用列方程（組） 或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決． 例 ，等腰 △ ABC 的底邊 AB=6 6 ，高 CD=3，點(diǎn) E是線段 BD 上異于 點(diǎn) B、 D 的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) F 在 BC 邊上，且 EF⊥ AB，現(xiàn)沿 EF將△ BEF 折起到△ PEF 的位置，使 PE⊥ AE．記 BE＝ x， V(x)表示四棱錐 P－ ACFE 的體積． （Ⅰ）求 V(x)的表達(dá)式 . （Ⅱ）當(dāng) x 為何值時(shí)， V(x)取得最大值 . 分析：依題求出底面 ACFE 的面積表達(dá)式與高，由體積公式構(gòu)建出體積表達(dá)式，借助于求導(dǎo)來(lái)解決問(wèn)題． 解：（Ⅰ）∵ EF⊥ AB,∴ EF⊥ PE, 且 PE⊥ AE,EF∩ AE=E, 又 PE 在平面 ACFE外，∴ PE⊥平面 ACFE， ∵ EF⊥ AB,CD⊥ AB, 6x? 6EF x C D xEF xC D BD BD? ? ? ? ?, 221 1 1 16 6 3 9 622 6 2 6A CF E A B C B F ES S S x x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 311 3 6 , ( 0 3 6 )3 66P AC FE AC FEV S PE x x x? ? ? ? ? ? ? （Ⅱ）由（Ⅰ）得 21( ) 3 626V x x? ?? 令 ( ) 0Vx? ? 得 6x? ，且 (0 , 6), ( ) 0x V x???； (6 , ), ( ) 0x V x?? ?? ? 故當(dāng) 6x? 時(shí)， V(x)取得最大值． 評(píng)析：對(duì)幾何圖形中的動(dòng)態(tài)變化問(wèn)題，應(yīng)分析各個(gè)量在變化過(guò)程中的相互關(guān)系中找到所需要的量，構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求值問(wèn)題，而在立幾的翻折問(wèn)題中要注意折前與折后的變與不變量，這也是正確解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在． 在概率統(tǒng)計(jì)中，也常常通過(guò)研究相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)或方程的解的分布，從 而揭示隨機(jī)變量的取值規(guī)律． 例 1．某商店采用“購(gòu)物摸球中獎(jiǎng)”的促銷活動(dòng)，摸球袋 中裝有 10 個(gè)號(hào)碼為 n（ 0≤ n≤ 10， n∈ *N ）重為 ? ? 2 9 21f n n n? ? ?克的球，摸球方案如下表 方案 摸獎(jiǎng)辦法 獎(jiǎng)金 淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想 15 ① 凡一次購(gòu)物在 ? ?50,100 元者，摸球一個(gè)，若球的重量小于該球的號(hào)碼數(shù)，則中獎(jiǎng)． 10 元 ② 摸出兩球，若兩球的重量相等則中獎(jiǎng) 40 元 試比較兩種方案中獎(jiǎng)概率的大?。ㄕf(shuō)明：每個(gè)球以等可能性從袋中被摸出，假定 符合條件的顧客均參加摸獎(jiǎng)．） 解：當(dāng)球的重量小于號(hào)碼 數(shù)時(shí)，有 2 9 21n n n? ? ? 解得 3n7, 即 n=4,5,6 則所求概率 1P = 310 設(shè)第 n 號(hào)與第 m 號(hào)的兩個(gè)球的重 量相等，不妨設(shè) nm，則有2 9 21nn?? 2 9 21mm?? 即（ nm） (m+n9)=0? m+n=9 所以（ n,m）的取值為（ 1， 8） （ 2， 7） （ 3， 6） （ 4， 5） 所求概率 2P =2104445C ? 即方案 ①的中獎(jiǎng)概率大． 運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決導(dǎo)數(shù)與函數(shù)問(wèn)題函數(shù)與方程思想是最重要的一種數(shù)學(xué)思想． 例 22( ) 2 1 ( , 0)f x tx t x t x R t? ? ? ? ? ? (1)求 f(x)的最小值 h(t) (2)若 h(t)2t+m 對(duì) ? ?0,2t? 恒成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍 解： (1) 39。()fx 0 + ()fx 減函數(shù) 極小值 3 1tt? ? ? 增函數(shù) 所以 f(x)的最小值 h(t)= 3 1tt? ? ? (2)由（ 1）得 h(t)= 3 1tt? ? ? 令 g(t)=h(t)(2t+m)= 3 1tt? ? ? +2tm = 3 31t t m? ? ? ? 由 39。()gt + 0 g(t) 增函數(shù) 極大值 1m 減函數(shù) 所以 g(t)在（ 0,2）內(nèi)有最大值 g(1)=1m 所以 h(t)2t+m 在（ 0,2）內(nèi)恒成立 ? g(t)0 在（ 0,2）內(nèi)恒成立 ? g(t)在（ 0,2）內(nèi)的最大值 g(1)=1m0 m1 所以 m的取值范圍為 m1 評(píng)析：由于含有字母系數(shù) m，直接解不等式不易得解，而運(yùn)用函數(shù)與方 程思想，把求 m的取值范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù) g（ t）在（ 0， 2）內(nèi)有最大值 g(1)＜ 0，從而得解． （組）來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題． 例 50 輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費(fèi)用為每 日 115 元．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)若每輛自行車的日租金不超過(guò) 6 元，則自行車可以全部租出 ,若超過(guò) 6 元，則每超過(guò) 1 元，租不出去的自行車就增加 3 輛，為了便于計(jì)算，每輛自行車的日租金 x( 元 ) 只取整數(shù)并且要求出租自行車一日總收入必須高于這一日的管理費(fèi)用．用 y( 元 )表示出租自行車的日凈收入 ( 即一日中出租自行車的總收入減去管理費(fèi)用的所得 ) (1)求函數(shù) y=f(x) 的解析式及其定義域 . (2)試問(wèn)當(dāng)每輛自行車的日租金定為多少元時(shí)才能使一日的凈收入最多 . 解 :(1)當(dāng) x≤ 6時(shí)， y=50x115 令 50x1150 解得 x 因?yàn)?xN? , 所以 x≥ 3 所以 3≤ x≤ 6 xN? 當(dāng) x6 時(shí)， y=〔 503(x6)〕 x115 令〔 503(x6)〕 x1150，有 23 68 115 0xx? ? ? 此不等式的整數(shù)解為 2≤ x≤ 20 (xN? ) 所以 6x≤ 20 (xN? ) 故 ? ?25 0 1 1 5 ( 3 6 , )3 6 8 1 1 5 6 2 0 ,x x x Nyx x x x N? ? ? ???? ?? ? ? ? ? ??? 定義域?yàn)?｛ x︱ 3≤ x≤ 20 xN? ｝ (2)對(duì)于 y=50x115 (3≤ x≤ 6 xN? ) 顯然，當(dāng) x=6 時(shí)， max 185y ? （元） 對(duì)于 ? ?22 3 4 8 1 13 6 8 1 1 5 6 2 0 ,33y x x x x x N