數(shù)學畢業(yè)論文-淺談微積分思想在幾何中的應用-在線瀏覽
2025-03-05 16:57本頁面
【正文】 ：設是定義在空間有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)。當（為的直徑），如果不論對怎樣劃分，點怎樣選取，上述和式都趨于同一常數(shù)，則稱函數(shù)在區(qū)域上是可積的，并稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)域上的三重積分，記為，即。2微分在幾何問題中的應用 若函數(shù)在包含的區(qū)間上可導，則曲線在點有切線，切線方程為。解:將曲線方程寫成函數(shù)形式。根據(jù)直線斜率意義可得 。 整理后得二次方程，解得或， 即切點可能是或； 所以滿足要求條件的切線有兩條，用兩點式直線方程寫出 整理后分別為：和如圖一圖一 設曲線由下列參數(shù)方程表示，函數(shù)和都在區(qū)間上可導，則對于任意，當時，對應的上的點處有切線，其方程為。也就是說，是曲線在處切線的方向向量。設取參數(shù)時，對應曲線上的點為則有直線的兩點式得割線方程為。 當時，點沿曲線趨于點,因為不同時為零，所以非零向量為曲線在點處的切線方向向量，切線的方程為。例求柱面螺旋線在處的切線方程與法平面方程。 故當時，對應點為 所以在點處的切線方程為 法平面方程為，或。解：對方程兩邊同時對自變量求導數(shù)并移項，得 的條件下，由克拉默法則，得 ， 所以。 設曲面的方程為，曲面上一點，設函數(shù)在點處具有連續(xù)的偏導數(shù)（即在點處連續(xù)），且不同時為零（不全為零）。向量垂直于曲面上過點的任意曲線在該點處的切線。曲面在點處的切平面方程為。例設曲面 上點處有，求曲面在此點處的切平面方程及法線方程。 法線方程為。例計算曲線的弧長（圖二）圖二解：由于，故由弧長公式知 即曲線的弧長約為。故 例計算星形線的全長。 星形線是對稱曲線，得 由曲線，直線所圍成的底邊在軸上的曲邊梯形的面積為。 由曲線，直線及軸所圍成的平面圖形的面積為。例求由曲線所圍成的圖形面積。 在區(qū)間。例計算包圍在雙紐線內部及圓外部圖形的面積。且其圖形對稱于極軸，從而其圖形分布在及之間。下圖陰影部分是位于第一象限中的情形。從而 按照定積分的元素法，對于分點，因為,所以可以將弦繞x軸形成的側面積來代替曲線弧形成的側面積，從而當函數(shù)可導時，（以切線長帶弦）對于曲線繞y軸旋轉的情況，可得。解：由得 由連續(xù)曲線在區(qū)間上圍成的曲邊梯形繞軸旋轉一周形成的旋轉體的體積為。例1求，及圍成的圖形圍繞軸旋轉所得的旋轉體的體積。由圖五可知，在區(qū)間上，圖五 所以 設所給立體垂直于軸的截面面積為，區(qū)間上連續(xù)，則對應于小區(qū)間的體積元素為，因此所求立體體積為。求其體積。例1用二重積分求曲線及軸在第一象限所圍成的區(qū)域的面積。解：因為對任意，所以心臟線所圍區(qū)域可表示為，故其面積為 體積，其中為曲頂柱體的曲頂。解：所求立體是一個曲頂柱體，曲頂方程是：?，F(xiàn)設在上連續(xù)，在上連續(xù)，在[a,b]上連續(xù)，則有 同樣的，當把區(qū)域投影到平面或平面上時，也可寫出相應的累次積分。解：在平面上的投影區(qū)域是型區(qū)域，這里，所以有 柱面坐標系與直角坐標系變量間的關系：，由于變換的函數(shù)行列式，所以，三重積分的柱面坐標換元公式為，這里為在柱面坐標變換下的原象。解：在平面上的投影區(qū)域D為。 球面坐標系與直角坐標系變量間的關系：，由于變換的函數(shù)行列式，當在上取值時，所以，三重積分的柱面坐標換元公式為，這里為在球面坐標變換下的原象。解：在球坐標變換下，球面方程可表示成，錐面方程可表示成。結束語微積分思想在幾何問題中的應用主要分為一元微分、多元微分、定積分、二重積分、三重積分分別在幾何中的應用，這些應用主要包括求曲線的長、求圖形的面積、求立體的體積。 參考文獻[1][M].湖南：湖南教育出版社，2005.[2]（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2010.[3]（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2004.[4][M].天津：天津大學出版社，2009.[5][M].北京：中國人民大學出版社，2004.[6][M].北京：科學出版社，2010.[7]（下冊 第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.[8]（上冊）[M].北京：高等教育出版社，1999.[9][美]（上冊）[M].北京：曉園出版社，1994.ag an employment tribunal clai Emloyment tribunals sort out disagreements between employers and employees. You may need to make a claim to an employment tribunal if: you don39。Fur ther help. Employment tribunals are less formal than some other courts, but it is still a legal process and you will need to give evidence under an oath or affirmation. Most people find making a claim to an employment tribunal challenging. If
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