微積分基本定理及應(yīng)用畢業(yè)論文-在線瀏覽
2025-08-07 05:31本頁面
【正文】 ，由原函數(shù)存在定理可知函數(shù) 也是在上的一個原函數(shù)，則這兩個原函數(shù)之間僅會相差一個常數(shù)，因此有=+，在上式中，令， 有0=+，即= ，則有：，若在該式中再令，則可得 ，將積分變量改為表示，上式即為，從而定理得以證明. 利用微分定義證明 證明 對區(qū)間進(jìn)行分割為：……,定義，…；并對變形可得： （1）因為在內(nèi)可導(dǎo)，由微分的定義，故 其中為的高階無窮小量，則（1）式可變?yōu)椋? 接下來我們證明，即證明.由導(dǎo)數(shù)的定義可知，對于，有下式成立： 故當(dāng)時，有下式成立： 也即下式成立： 令，則有： 即. 接下來我們要再證明：，其中，即證明函數(shù)的積分與其分割無關(guān).在閉區(qū)間上連續(xù)，對于，當(dāng)時，有如下式成立： 成立，即證明了上述的命題. 綜上所述：. 由于函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，可知，則 的極限存在，再由積分的定義可得：. 得證. 這一種證明方法是證明微積分基本公式的一種新證法，新證法比教科書上的變上限法復(fù)雜，但它卻揭示了導(dǎo)數(shù)、微分及積分間的內(nèi)在聯(lián)系，從微分的角度揭示了牛頓萊布尼茨公式的幾何意義.3 微積分基本定理的應(yīng)用 通過上一節(jié)對微積分基本定理的概述與證明，有了對其性質(zhì)的詳細(xì)理解，本節(jié)將對其應(yīng)用進(jìn)行深步研究。 微積分基本定理在Taylor中值定理的積分證明中的應(yīng)用 定理5（Taylor中值定理） 若在上存在直至階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù)，則對任意的,有 其中介于,之間.證明 = 其中介于,之間.則. 對于Taylor中值定理，大多都是通過構(gòu)造輔助函數(shù)，借助柯西中值定理或羅爾定理證明，而這里是利用微積分基本定理使變形為積分形式，這樣我們就使得證明過程更簡明. 利用微積分基本定理證明連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理 定理6（連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理） 若函數(shù)在上連續(xù)，且,異號，則至少存在一點(diǎn)，使得. 證明 不妨設(shè)，令，則 在上可導(dǎo)，且，由于 ，則存在，滿足，即，也即. 由此這可以表明不是連續(xù)函數(shù)在 上的最大值. 同理，也不是其最大值. 故在上的最大值只能在中某一點(diǎn)處取得，即為其極大值點(diǎn),所以由Fermat定理可知，.對于連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理，大多都是通過構(gòu)造輔助函數(shù)，或者利用確界原理、區(qū)間套原理等證明，而這里借助了微積分基本定理使得問題得以更加簡便地解決. 在復(fù)變函數(shù)中的應(yīng)用在《復(fù)變函數(shù)》中，也有類似的結(jié)果. 定理7 設(shè)是單連通區(qū)域的解析函數(shù)，是在內(nèi)的任一原函數(shù)，則有. 定理8 設(shè)函數(shù)在空間單連通區(qū)域內(nèi)連續(xù)，有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，若在內(nèi)每一點(diǎn)處有則 1) 在內(nèi)有無窮多個原函數(shù)，它的任意兩個原函數(shù)之間都相差一個常數(shù).即若是的任意兩個原函數(shù)，則 ，其中為任意實數(shù). 2) 若是的任一原函數(shù)，則 證明略. 常見的應(yīng)用舉例微積分基本定理除了在數(shù)學(xué)問題方面有廣泛的應(yīng)用，同樣還可以解決許多物理問題，將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題解決，舉例如下： 求解函數(shù)、極限等問題 例1 求極限 . 解 原式= 其中 例2 利用牛頓—萊布尼茨公式計算定積分：（1）.（2） 解 （1）原式= . （2） . 求解最大（?。┲祷蚱矫鎴D形面積問題 例3 求由拋物線與過焦點(diǎn)的弦所圍成的圖形面積的最小值. 解 拋物線的焦點(diǎn)為，若以焦點(diǎn)為極點(diǎn)，則拋物線的極坐標(biāo)方 令 ，解得 .當(dāng)時，.求出由拋物線及所圍成的平面圖形的面積，正好就是所求面積的最小值.故 求解
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