微積分基本定理及應用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-17 05:31 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 而定理得以證明. 利用微分定義證明 證明 對區(qū)間進行分割為：……,定義，…；并對變形可得： （1）因為在內(nèi)可導，由微分的定義，故 其中為的高階無窮小量，則（1）式可變?yōu)椋? 接下來我們證明，即證明.由導數(shù)的定義可知，對于，有下式成立： 故當時，有下式成立： 也即下式成立： 令，則有： 即. 接下來我們要再證明：，其中，即證明函數(shù)的積分與其分割無關.在閉區(qū)間上連續(xù)，對于，當時，有如下式成立： 成立，即證明了上述的命題. 綜上所述：. 由于函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，可知，則 的極限存在，再由積分的定義可得：. 得證. 這一種證明方法是證明微積分基本公式的一種新證法，新證法比教科書上的變上限法復雜，但它卻揭示了導數(shù)、微分及積分間的內(nèi)在聯(lián)系，從微分的角度揭示了牛頓萊布尼茨公式的幾何意義.3 微積分基本定理的應用 通過上一節(jié)對微積分基本定理的概述與證明，有了對其性質(zhì)的詳細理解，本節(jié)將對其應用進行深步研究。微積分基本定理不僅是微積分的理論基礎，微積分基本定理的應用重點是在于牛頓萊布尼茨公式（也稱微積分基本公式）的應用，但也是有條件的，我們將從以下幾個方面對應用進行歸納并將其延伸拓展。 微積分基本定理在Taylor中值定理的積分證明中的應用 定理5（Taylor中值定理） 若在上存在直至階的連續(xù)導函數(shù)，在內(nèi)存在階導函數(shù)，則對任意的,有 其中介于,之間.證明 = 其中介于,之間.則. 對于Taylor中值定理，大多都是通過構造輔助函數(shù)，借助柯西中值定理或羅爾定理證明，而這里是利用微積分基本定理使變形為積分形式，這樣我們就使得證明過程更簡明. 利用微積分基本定理證明連續(xù)函數(shù)的零點定理 定理6（連續(xù)函數(shù)的零點定理） 若函數(shù)在上連續(xù)，且,異號，則至少存在一點，使得. 證明 不妨設，令，則 在上可導，且，由于 ，則存在，滿足，即，也即. 由此這可以表明不是連續(xù)函數(shù)在 上的最大值. 同理，也不是其最大值. 故在上的最大值只能在中某一點處取得，即為其極大值點,所以由Fermat定理可知，.對于連續(xù)函數(shù)的零點定理，大多都是通過構造輔助函數(shù)，或者利用確界原理、區(qū)間套原理等證明，而這里借助了微積分基本定理使得問題得以更加簡便地解決. 在復變函數(shù)中的應用在《復變函數(shù)》中，也有類似的結果. 定理7 設是單連通區(qū)域的解析函數(shù)，是在內(nèi)的任一原函數(shù)，則有. 定理8 設函數(shù)在空間單連通區(qū)域內(nèi)連續(xù)，有一階連續(xù)偏導數(shù)，若在內(nèi)每一點處有則 1) 在內(nèi)有無窮多個原函數(shù)，它的任意兩個原函數(shù)之間都相差一個常數(shù).即若是的任意兩個原函數(shù)，則 ，其中為任意實數(shù). 2) 若是的任一原函數(shù)，則 證明略. 常見的應用舉例微積分基本定理除了在數(shù)學問題方面有廣泛的應用，同樣還可以解決許多物理問題，將物理問題轉化為數(shù)學問題解決，舉例如下： 求解函數(shù)、極限等問題 例1 求極限 . 解 原式= 其中 例2 利用牛頓—萊布尼茨公式計算定積分：（1）.（2） 解 （1）原式= . （2） . 求解最大（小）值或平面圖形面積問題 例3 求由拋物線與過焦點的弦所圍成的圖形面積的最小值. 解 拋物線的焦點為，若以焦點為極點，則拋物線的極坐標方 令 ，解得 .當時，.求出由拋物線及所圍成的平面圖形的面積，正好就是所求面積的最小值.故 求解幾何問題 例4 已知
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